Cotor/Coext над кольцом

Пусть R -- кольцо, для простоты, коммутативное и нетерово. Предположим, что у него есть дуализирующий комплекс D. Тогда можно определить триангулированный функтор, сопоставляющий комплекс абелевых групп (и даже R-модулей) паре комплексов R-модулей, такой что

- когда R регулярно конечной размерности Крулля, это будет функтор Tor (или, в другом варианте, Ext),
- когда R -- конечномерная алгебра над полем k, это будет функтор Cotor (соответственно Coext) над коалгеброй R*,
- функтор определен на декартовом произведении производных категорий второго рода: двух копроизводных категорий R-модулей, или одной категории, противоположной к копроизводной категории R-модулей, и одной контрапроизводной категории R-модулей,
- в общем случае, если подавать на входе пары ограниченных комплексов, этот функтор будет производить комплексы, ограниченные снизу (в случае функтора, ковариантного по обоим аргументам) или сверху (в случае функтора, контравариантного по первому и ковариантного по второму аргументу), соответственно.

Определение этого функтора такое:
- чтобы посчитать Cotor^R(N,M), представим один из комплексов, скажем, N, комплексом инъективных R-модулей, и рассмотрим в качестве ответа комплекс N⊗_RHom_R(D,M);
- чтобы посчитать Coext_R(M,P), представим P в виде комплекса плоских R-модулей, и рассмотрим в качестве ответа комплекс Hom_R(M, D⊗_RP), либо представим M в виде комплекса инъективных R-модулей (а P в виде комплекса R-модулей кокручения), и рассмотрим в качестве ответа комплекс Hom_R(Hom_R(D,M),P).

... Идея всего этого в том, чтобы распространить определение функторов SemiTor/SemiExt на случай (некоторых) полуалгебр над кокольцами над кольцами, у которых гомологическая размерность базового кольца (того, что обозначается обычно A в полубесконечной книжке) не обязательно конечна. Впечатление таково, что такая теория может быть построена, например, в случае, когда кольцо A коммутативно, нетерово и имеет дуализирующий комплекс, а кокольцо C и полуалгебра S являются центральными A-бимодулями.

При этом такой функтор будет определен на декартовом произведении полупроизводных категорий S-полу(контра)модулей (взятых относительно обычных ко/контрапроизводных категорий C-ко/контрамодулей) и будет представлять собой "смесь"
- функтора Tor/Ext в направлении S относительно C,
- функтора Cotor/Coext в направлении С относительно A,
- и определенного выше функтора Cotor/Coext над A.

В случае кольца A конечной гомологической размерности (т.е. регулярного конечной размерности Крулля, т.к. мы ограничиваемся коммутативными), это будет функтор SemiTor/SemiExt из книжки.

Обобщение на случай некоммутативного кольца A бесконечной гомологической размерности также может быть, кажется, в принципе, получено, но для этого потребуется рассматривать дуализирующей комплекс D пары таких колец A и B, по полуалгебре S и T над каждым из них, и некое условие коммутации на них, типа D ⊗_B T = S ⊗_A D.

Три источника и две составных части

Ключевые идеи/понятия той моей деятельности, что публикуется на Архиве по разделу math.CT:

- алгебры с кривизной,
- комодули и контрамодули,
- два рода производных категорий и функторов,
плюс смешанные/относительные ситуации: алгебры над коалгебрами и кокольца над кольцами, полупроизводные категории, полутензорные произведения и т.д.

А ключевые универсальные феномены -- это, конечно

- кошулева двойственность,
- комодульно-контрамодульное соответствие.

Комодули А-плоские и C-кокручения

Пусть C -- кокольцо над некоммутативным кольцом A, такое что C является плоским левым и правым A-модулем, а A имеет конечную слабую гомологическую размерность.

Определение: левый C-комодуль M называется комодулем (C-)кокручения, если функтор гомоморфизмов C-комодулей в M переводит короткие точные последовательности A-плоских C-комодулей в короткие точные последовательности абелевых групп. Например, C-комодули, коиндуцированные с A-модулей кокручения, относятся к этому классу.

Лемма (ср. Homological algebra of semimodules..., Lemma 5.3.1(a)): левый C-комодуль M является комодулем кокручения тогда и только тогда, когда Ext_Cⁱ(L,M) = 0 для всех i > 0 и всех A-плоских левых C-комодулей M. В частности, функтор Hom_C из A-плоского левого C-комодуля L переводит короткие точные последовательности левых C-комодулей кокручения в короткие точные последовательности абелевых групп. Класс C-комодулей кокручения замкнут относительно расширений и перехода к коядру вложения.

Доказательство: утверждение следует из того, что всякий левый C-комодуль является факторкомодулем A-плоского левого C-комодуля (см. Semimodules, Lemma 1.1.3), в связи с чем Ext_C(L,M) можно вычислять, пользуясь (всеми сразу и переходом к прямому пределу по) A-плоским левым резольвентам L.

Лемма: левый C-комодуль M является одновременно A-плоским и комодулем C-кокручения тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым C-комодуля C⊗_AF, коиндуцированного с какого-нибудь плоского A-модуля кокручения F.

Доказательство: часть "тогда" очевидна. "Tолько тогда": использует трюк, основанный на свойствах взаимной ассоциативности функторов Hom_C и котензорного произведения/Cohom над C, а также вышеприведенную лемму.

Предложение (ср. Semimodules, Proposition 5.2.2): естественное отображение абелевых групп Cohom_C(L,Hom_C(C,M)) → Hom_C(C□_CL,M) = Hom_C(L,M), существующее для всех левых C-комодулей L и M, является изоморфизмом, когда L -- A-плоский C-комодуль, а M -- C-комодуль кокручения.

Доказательство: последовательность 0 → C□_CL = L → C⊗_AL → C⊗_AC⊗_AL точна в точной категории A-плоских C-комодулей (будучи вообще расщепимой над A), поэтому Hom_C(−,M) из нее образует точную последовательность.

Доказательство основной леммы: рассмотрим отображение кодействия m: M → C⊗_AM. Это морфизм A-плоских C-комодулей, являющийся расщепимым вложением как морфизм A-модулей. Согласно предложению, морфизм морфизмов Cohom_C(m,Hom_C(C,M)) → Hom_C(m,M) является изоморфизмом. Положим P = Hom_C(C,M) (т.е. P -- левый C-контрамодуль). Отображение Hom_A(m,P) сюръективно, поскольку вложение m A-расщепимо; отсюда следует, что и отображение Cohom_A(m,P) сюръективно. Отсюда отображение Hom_C(m,M) сюръективно, т.е., m -- расщепимое вложение C-комодулей. Мы показали, что M является прямым слагаемым C-комодуля, коиндуцированного с плоского A-модуля.

Пусть M → F -- вложение M в А-модуль кокручения с плоским фактормодулем. Поскольку M -- плоский A-модуль, F является плоским A-модулем кокручения. Рассмотрим композицию морфизмов C-комодулей M → C⊗_AM → C⊗_AF. Коядро L этой композиции, будучи расширением коядер компонуемых морфизмов, является A-плоским C-комодулем. Согласно лемме, Ext_C¹(L,M) = 0, откуда C-комодуль M является прямым слагаемым C-комодуля C⊗_AF.

Лемма: всякий C-комодуль M является факторкомодулем некоторого A-плоского C-комодуля по C-комодулю кокручения.

Доказательство: конструкция из Semimodules, Lemma 1.1.3/3.1.3(a) с подстановкой в нее сюръективных морфизмов в произвольные A-модули из плоских A-модулей с ядрами, являющимися A-модулями кокручения, представляет M в виде фактокомодуля A-плоского C-комодуля по конечно итерированному расширению C-комодулей, коиндуцированных с A-модулей кокручения.

Лемма (ср. Semimodules, Lemma 9.1.2(a)): всякий C-комодуль M вкладывается в C-комодуль кокручения с коядром, являющимся A-плоским C-комодулем.

Доказательство: пусть P → M -- сюръективный морфизм в M из A-плоского C-комодуля P с ядром K, являющимся C-комодулем кокручения. Пусть P → F -- вложение плоского A-модуля P в плоский A-модуль кокручения F с коядром, являющимся плоским A-модулем. Обозначим через J коядро композиции морфизмов C-комодулей K → P → C⊗_AP → C⊗_AF. Тогда композиция отображений P → C⊗_AP → C⊗_AF → J факторизуется через сюръекцию P → M, так что имеется естественный морфизм C-комодулей M → J, как легко видеть, инъективный. С-комодуль J, будучи коядром инъективного морфизма C-комодулей кокручения K → C⊗_AF, является C-комодулем кокручения. Коядро морфизма M → J изоморфно коядру композиции морфизмов P → C⊗_AP → C⊗_AF и, будучи расширением ядер компонуемых морфизмов, является A-плоским C-комодулем.

Следствие (ср. Semimodules, Remark 9.1): всякий C-комодуль кокручения можно получить из C-комодулей, коиндуцированных с A-модулей кокручения, с помощью конечно итерированных операций перехода к расширению, коядру вложения и прямому слагаемому.

Доказательство: пусть M -- C-комодуль кокручения. Применяя конструкции выше, построим вложение его M → J в C-комодуль, полученный с помощью описанных выше операций, с коядром L, являющимся A-плоским C-комодулем. Поскольку Ext_C¹(L,M) = 0, эта точная последовательность расщепляется и M является прямым слагаемым J.