Комодули А-плоские и C-кокручения
Apr. 15th, 2012 03:26 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть C -- кокольцо над некоммутативным кольцом A, такое что C является плоским левым и правым A-модулем, а A имеет конечную слабую гомологическую размерность.
Определение: левый C-комодуль M называется комодулем (C-)кокручения, если функтор гомоморфизмов C-комодулей в M переводит короткие точные последовательности A-плоских C-комодулей в короткие точные последовательности абелевых групп. Например, C-комодули, коиндуцированные с A-модулей кокручения, относятся к этому классу.
Лемма (ср. Homological algebra of semimodules..., Lemma 5.3.1(a)): левый C-комодуль M является комодулем кокручения тогда и только тогда, когда ExtCi(L,M) = 0 для всех i > 0 и всех A-плоских левых C-комодулей M. В частности, функтор HomC из A-плоского левого C-комодуля L переводит короткие точные последовательности левых C-комодулей кокручения в короткие точные последовательности абелевых групп. Класс C-комодулей кокручения замкнут относительно расширений и перехода к коядру вложения.
Доказательство: утверждение следует из того, что всякий левый C-комодуль является факторкомодулем A-плоского левого C-комодуля (см. Semimodules, Lemma 1.1.3), в связи с чем ExtC(L,M) можно вычислять, пользуясь (всеми сразу и переходом к прямому пределу по) A-плоским левым резольвентам L.
Лемма: левый C-комодуль M является одновременно A-плоским и комодулем C-кокручения тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым C-комодуля C⊗AF, коиндуцированного с какого-нибудь плоского A-модуля кокручения F.
Доказательство: часть "тогда" очевидна. "Tолько тогда":использует трюк, основанный на свойствах взаимной ассоциативности функторов HomC и котензорного произведения/Cohom над C, а также вышеприведенную лемму.
Предложение (ср. Semimodules, Proposition 5.2.2): естественное отображение абелевых групп CohomC(L,HomC(C,M)) → HomC(C□CL,M) = HomC(L,M), существующее для всех левых C-комодулей L и M, является изоморфизмом, когда L -- A-плоский C-комодуль, а M -- C-комодуль кокручения.
Доказательство: последовательность 0 → C□CL = L → C⊗AL → C⊗AC⊗AL точна в точной категории A-плоских C-комодулей (будучи вообще расщепимой над A), поэтому HomC(−,M) из нее образует точную последовательность.
Доказательство основной леммы: рассмотрим отображение кодействия m: M → C⊗AM. Это морфизм A-плоских C-комодулей, являющийся расщепимым вложением как морфизм A-модулей. Согласно предложению, морфизм морфизмов CohomC(m,HomC(C,M)) → HomC(m,M) является изоморфизмом. Положим P = HomC(C,M) (т.е. P -- левый C-контрамодуль). Отображение HomA(m,P) сюръективно, поскольку вложение m A-расщепимо; отсюда следует, что и отображение CohomA(m,P) сюръективно. Отсюда отображение HomC(m,M) сюръективно, т.е., m -- расщепимое вложение C-комодулей. Мы показали, что M является прямым слагаемым C-комодуля, коиндуцированного с плоского A-модуля.
Пусть M → F -- вложение M в А-модуль кокручения с плоским фактормодулем. Поскольку M -- плоский A-модуль, F является плоским A-модулем кокручения. Рассмотрим композицию морфизмов C-комодулей M → C⊗AM → C⊗AF. Коядро L этой композиции, будучи расширением коядер компонуемых морфизмов, является A-плоским C-комодулем. Согласно лемме, ExtC1(L,M) = 0, откуда C-комодуль M является прямым слагаемым C-комодуля C⊗AF.
Лемма: всякий C-комодуль M является факторкомодулем некоторого A-плоского C-комодуля по C-комодулю кокручения.
Доказательство: конструкция из Semimodules, Lemma 1.1.3/3.1.3(a) с подстановкой в нее сюръективных морфизмов в произвольные A-модули из плоских A-модулей с ядрами, являющимися A-модулями кокручения, представляет M в виде фактокомодуля A-плоского C-комодуля по конечно итерированному расширению C-комодулей, коиндуцированных с A-модулей кокручения.
Лемма (ср. Semimodules, Lemma 9.1.2(a)): всякий C-комодуль M вкладывается в C-комодуль кокручения с коядром, являющимся A-плоским C-комодулем.
Доказательство: пусть P → M -- сюръективный морфизм в M из A-плоского C-комодуля P с ядром K, являющимся C-комодулем кокручения. Пусть P → F -- вложение плоского A-модуля P в плоский A-модуль кокручения F с коядром, являющимся плоским A-модулем. Обозначим через J коядро композиции морфизмов C-комодулей K → P → C⊗AP → C⊗AF. Тогда композиция отображений P → C⊗AP → C⊗AF → J факторизуется через сюръекцию P → M, так что имеется естественный морфизм C-комодулей M → J, как легко видеть, инъективный. С-комодуль J, будучи коядром инъективного морфизма C-комодулей кокручения K → C⊗AF, является C-комодулем кокручения. Коядро морфизма M → J изоморфно коядру композиции морфизмов P → C⊗AP → C⊗AF и, будучи расширением ядер компонуемых морфизмов, является A-плоским C-комодулем.
Следствие (ср. Semimodules, Remark 9.1): всякий C-комодуль кокручения можно получить из C-комодулей, коиндуцированных с A-модулей кокручения, с помощью конечно итерированных операций перехода к расширению, коядру вложения и прямому слагаемому.
Доказательство: пусть M -- C-комодуль кокручения. Применяя конструкции выше, построим вложение его M → J в C-комодуль, полученный с помощью описанных выше операций, с коядром L, являющимся A-плоским C-комодулем. Поскольку ExtC1(L,M) = 0, эта точная последовательность расщепляется и M является прямым слагаемым J.
Определение: левый C-комодуль M называется комодулем (C-)кокручения, если функтор гомоморфизмов C-комодулей в M переводит короткие точные последовательности A-плоских C-комодулей в короткие точные последовательности абелевых групп. Например, C-комодули, коиндуцированные с A-модулей кокручения, относятся к этому классу.
Лемма (ср. Homological algebra of semimodules..., Lemma 5.3.1(a)): левый C-комодуль M является комодулем кокручения тогда и только тогда, когда ExtCi(L,M) = 0 для всех i > 0 и всех A-плоских левых C-комодулей M. В частности, функтор HomC из A-плоского левого C-комодуля L переводит короткие точные последовательности левых C-комодулей кокручения в короткие точные последовательности абелевых групп. Класс C-комодулей кокручения замкнут относительно расширений и перехода к коядру вложения.
Доказательство: утверждение следует из того, что всякий левый C-комодуль является факторкомодулем A-плоского левого C-комодуля (см. Semimodules, Lemma 1.1.3), в связи с чем ExtC(L,M) можно вычислять, пользуясь (всеми сразу и переходом к прямому пределу по) A-плоским левым резольвентам L.
Лемма: левый C-комодуль M является одновременно A-плоским и комодулем C-кокручения тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым C-комодуля C⊗AF, коиндуцированного с какого-нибудь плоского A-модуля кокручения F.
Доказательство: часть "тогда" очевидна. "Tолько тогда":
Предложение (ср. Semimodules, Proposition 5.2.2): естественное отображение абелевых групп CohomC(L,HomC(C,M)) → HomC(C□CL,M) = HomC(L,M), существующее для всех левых C-комодулей L и M, является изоморфизмом, когда L -- A-плоский C-комодуль, а M -- C-комодуль кокручения.
Доказательство: последовательность 0 → C□CL = L → C⊗AL → C⊗AC⊗AL точна в точной категории A-плоских C-комодулей (будучи вообще расщепимой над A), поэтому HomC(−,M) из нее образует точную последовательность.
Доказательство основной леммы: рассмотрим отображение кодействия m: M → C⊗AM. Это морфизм A-плоских C-комодулей, являющийся расщепимым вложением как морфизм A-модулей. Согласно предложению, морфизм морфизмов CohomC(m,HomC(C,M)) → HomC(m,M) является изоморфизмом. Положим P = HomC(C,M) (т.е. P -- левый C-контрамодуль). Отображение HomA(m,P) сюръективно, поскольку вложение m A-расщепимо; отсюда следует, что и отображение CohomA(m,P) сюръективно. Отсюда отображение HomC(m,M) сюръективно, т.е., m -- расщепимое вложение C-комодулей. Мы показали, что M является прямым слагаемым C-комодуля, коиндуцированного с плоского A-модуля.
Пусть M → F -- вложение M в А-модуль кокручения с плоским фактормодулем. Поскольку M -- плоский A-модуль, F является плоским A-модулем кокручения. Рассмотрим композицию морфизмов C-комодулей M → C⊗AM → C⊗AF. Коядро L этой композиции, будучи расширением коядер компонуемых морфизмов, является A-плоским C-комодулем. Согласно лемме, ExtC1(L,M) = 0, откуда C-комодуль M является прямым слагаемым C-комодуля C⊗AF.
Лемма: всякий C-комодуль M является факторкомодулем некоторого A-плоского C-комодуля по C-комодулю кокручения.
Доказательство: конструкция из Semimodules, Lemma 1.1.3/3.1.3(a) с подстановкой в нее сюръективных морфизмов в произвольные A-модули из плоских A-модулей с ядрами, являющимися A-модулями кокручения, представляет M в виде фактокомодуля A-плоского C-комодуля по конечно итерированному расширению C-комодулей, коиндуцированных с A-модулей кокручения.
Лемма (ср. Semimodules, Lemma 9.1.2(a)): всякий C-комодуль M вкладывается в C-комодуль кокручения с коядром, являющимся A-плоским C-комодулем.
Доказательство: пусть P → M -- сюръективный морфизм в M из A-плоского C-комодуля P с ядром K, являющимся C-комодулем кокручения. Пусть P → F -- вложение плоского A-модуля P в плоский A-модуль кокручения F с коядром, являющимся плоским A-модулем. Обозначим через J коядро композиции морфизмов C-комодулей K → P → C⊗AP → C⊗AF. Тогда композиция отображений P → C⊗AP → C⊗AF → J факторизуется через сюръекцию P → M, так что имеется естественный морфизм C-комодулей M → J, как легко видеть, инъективный. С-комодуль J, будучи коядром инъективного морфизма C-комодулей кокручения K → C⊗AF, является C-комодулем кокручения. Коядро морфизма M → J изоморфно коядру композиции морфизмов P → C⊗AP → C⊗AF и, будучи расширением ядер компонуемых морфизмов, является A-плоским C-комодулем.
Следствие (ср. Semimodules, Remark 9.1): всякий C-комодуль кокручения можно получить из C-комодулей, коиндуцированных с A-модулей кокручения, с помощью конечно итерированных операций перехода к расширению, коядру вложения и прямому слагаемому.
Доказательство: пусть M -- C-комодуль кокручения. Применяя конструкции выше, построим вложение его M → J в C-комодуль, полученный с помощью описанных выше операций, с коядром L, являющимся A-плоским C-комодулем. Поскольку ExtC1(L,M) = 0, эта точная последовательность расщепляется и M является прямым слагаемым J.
