Cotor/Coext над кольцом
Apr. 15th, 2012 01:50 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть R -- кольцо, для простоты, коммутативное и нетерово. Предположим, что у него есть дуализирующий комплекс D. Тогда можно определить триангулированный функтор, сопоставляющий комплекс абелевых групп (и даже R-модулей) паре комплексов R-модулей, такой что
- когда R регулярно конечной размерности Крулля, это будет функтор Tor (или, в другом варианте, Ext),
- когда R -- конечномерная алгебра над полем k, это будет функтор Cotor (соответственно Coext) над коалгеброй R*,
- функтор определен на декартовом произведении производных категорий второго рода: двух копроизводных категорий R-модулей, или одной категории, противоположной к копроизводной категории R-модулей, и одной контрапроизводной категории R-модулей,
- в общем случае, если подавать на входе пары ограниченных комплексов, этот функтор будет производить комплексы, ограниченные снизу (в случае функтора, ковариантного по обоим аргументам) или сверху (в случае функтора, контравариантного по первому и ковариантного по второму аргументу), соответственно.
Определение этого функтора такое:
- чтобы посчитать CotorR(N,M), представим один из комплексов, скажем, N, комплексом инъективных R-модулей, и рассмотрим в качестве ответа комплекс N⊗RHomR(D,M);
- чтобы посчитать CoextR(M,P), представим P в виде комплекса плоских R-модулей, и рассмотрим в качестве ответа комплекс HomR(M, D⊗RP), либо представим M в виде комплекса инъективных R-модулей (а P в виде комплекса R-модулей кокручения), и рассмотрим в качестве ответа комплекс HomR(HomR(D,M),P).
... Идея всего этого в том, чтобы распространить определение функторов SemiTor/SemiExt на случай (некоторых) полуалгебр над кокольцами над кольцами, у которых гомологическая размерность базового кольца (того, что обозначается обычно A в полубесконечной книжке) не обязательно конечна. Впечатление таково, что такая теория может быть построена, например, в случае, когда кольцо A коммутативно, нетерово и имеет дуализирующий комплекс, а кокольцо C и полуалгебра S являются центральными A-бимодулями.
При этом такой функтор будет определен на декартовом произведении полупроизводных категорий S-полу(контра)модулей (взятых относительно обычных ко/контрапроизводных категорий C-ко/контрамодулей) и будет представлять собой "смесь"
- функтора Tor/Ext в направлении S относительно C,
- функтора Cotor/Coext в направлении С относительно A,
- и определенного выше функтора Cotor/Coext над A.
В случае кольца A конечной гомологической размерности (т.е. регулярного конечной размерности Крулля, т.к. мы ограничиваемся коммутативными), это будет функтор SemiTor/SemiExt из книжки.
Обобщение на случай некоммутативного кольца A бесконечной гомологической размерности также может быть, кажется, в принципе, получено, но для этого потребуется рассматривать дуализирующей комплекс D пары таких колец A и B, по полуалгебре S и T над каждым из них, и некое условие коммутации на них, типа D ⊗B T = S ⊗A D.
- когда R регулярно конечной размерности Крулля, это будет функтор Tor (или, в другом варианте, Ext),
- когда R -- конечномерная алгебра над полем k, это будет функтор Cotor (соответственно Coext) над коалгеброй R*,
- функтор определен на декартовом произведении производных категорий второго рода: двух копроизводных категорий R-модулей, или одной категории, противоположной к копроизводной категории R-модулей, и одной контрапроизводной категории R-модулей,
- в общем случае, если подавать на входе пары ограниченных комплексов, этот функтор будет производить комплексы, ограниченные снизу (в случае функтора, ковариантного по обоим аргументам) или сверху (в случае функтора, контравариантного по первому и ковариантного по второму аргументу), соответственно.
Определение этого функтора такое:
- чтобы посчитать CotorR(N,M), представим один из комплексов, скажем, N, комплексом инъективных R-модулей, и рассмотрим в качестве ответа комплекс N⊗RHomR(D,M);
- чтобы посчитать CoextR(M,P), представим P в виде комплекса плоских R-модулей, и рассмотрим в качестве ответа комплекс HomR(M, D⊗RP), либо представим M в виде комплекса инъективных R-модулей (а P в виде комплекса R-модулей кокручения), и рассмотрим в качестве ответа комплекс HomR(HomR(D,M),P).
... Идея всего этого в том, чтобы распространить определение функторов SemiTor/SemiExt на случай (некоторых) полуалгебр над кокольцами над кольцами, у которых гомологическая размерность базового кольца (того, что обозначается обычно A в полубесконечной книжке) не обязательно конечна. Впечатление таково, что такая теория может быть построена, например, в случае, когда кольцо A коммутативно, нетерово и имеет дуализирующий комплекс, а кокольцо C и полуалгебра S являются центральными A-бимодулями.
При этом такой функтор будет определен на декартовом произведении полупроизводных категорий S-полу(контра)модулей (взятых относительно обычных ко/контрапроизводных категорий C-ко/контрамодулей) и будет представлять собой "смесь"
- функтора Tor/Ext в направлении S относительно C,
- функтора Cotor/Coext в направлении С относительно A,
- и определенного выше функтора Cotor/Coext над A.
В случае кольца A конечной гомологической размерности (т.е. регулярного конечной размерности Крулля, т.к. мы ограничиваемся коммутативными), это будет функтор SemiTor/SemiExt из книжки.
Обобщение на случай некоммутативного кольца A бесконечной гомологической размерности также может быть, кажется, в принципе, получено, но для этого потребуется рассматривать дуализирующей комплекс D пары таких колец A и B, по полуалгебре S и T над каждым из них, и некое условие коммутации на них, типа D ⊗B T = S ⊗A D.
