Контрамодули над нетеровыми локальными кольцами

Пусть R -- полное нетерово локальное кольцо с максимальным идеалом m, рассматриваемое как топологическое кольцо в m-адической топологии. Хотелось бы доказать примерно следующее.

1. Забывающий функтор из категории R-контрамодулей в категорию R-модулей является вполне строгим.

2. Образ функтора R-contra → R-mod состоит из всех R-модулей P, удовлетворяющих одному из следующих эквивалентных условий:

а) для любого мультипликативно замкнутого подмножества S ⊂ R и любого целого i ≥ 0, группа Ext_Rⁱ(R[S⁻¹], P), посчитанная в абелевой категории R-модулей, равна нулю, за исключением случая, когда S не пересекается с m и i = 0;

б) для любого мультипликативно замкнутого подмножества S ⊂ R, имеющего непустое пересечение с m, любого R[S⁻¹]-модуля L, и любого целого i ≥ 0, группа Ext_Rⁱ(L,P) равна нулю;

в) для любого элемента s ∈ m и любого i, равного нулю или единице, группа Ext_Rⁱ(R[s⁻¹], P) равна нулю.

Контрамодули над нетеровыми локальными кольцами - 2

Как доказывать сформулированное в предыдущем постинге? В общем и в целом, речь идет о редукции к случаю одномерного регулярного локального кольца, рассматривавшемуся (без определения понятия "контрамодуль", конечно) в известной статье Continuous étale cohomology и далее в Appendix A к моей полубесконечной книжке.

Конкретнее, доказать, что R-контрамодуль P обладает свойством б), можно так. Прежде всего утверждается, что для любого R-модуля M и R-контрамодуля P, R-модуль Hom_R(M,P) всех R-модульных гомоморфизмов M → P имеет естественную структуру R-контрамодуля с "поточечными" операциями бесконечного суммирования. Отсюда следует, что и R-модули Ext_Rⁱ(M,P) имеют естественные структуры R-контрамодулей.

С другой стороны, если в R-модуле L элемент s ∈ m действует обратимым оператором, то тем же свойством обладает и R-модуль Ext_Rⁱ(L,N), для любого R-модуля N и любого i ≥ 0. Остается отметить, что R-контрамодуль Q с таким свойством всегда равен нулю по (контрамодульной) лемме Накаямы: mQ = Q влечет Q = 0.

Чтобы построить на R-модуле P, обладающем свойством в), структуру R-контрамодуля, можно рассуждать примерно так. Выберем конечный набор образующих x_j идеала m. Рассмотрим кольцо T формальных степенных рядов от переменных t_j с коэффициентами в R, и наделим его обычной (t-адической) топологией формальных степенных рядов. Тогда T, конечно, не топологическое локальное кольцо в смысле моей обычной терминологии, но это полное отделимое топологическое кольцо с базой окрестностей нуля, состоящей из открытых идеалов. Поэтому имеется абелева категория T-контрамодулей.

Далее, имеется естественный гомоморфизм топологических колец T → R, тождественный в ограничении на R и переводящий t_j в x_j. Поскольку x_j порождают m, это открытое отображение, т.е. топология R является фактортопологией топологии на T. Дальше предлагается сначала построить (пользуясь свойством в)) структуру T-контрамодуля на P, а потом убедиться, что она спускается до структуры R-контрамодуля. (Для последнего, полезно иметь описание ядра гомоморфизма T → R -- похоже, оно просто порождается элементами t_j−x_j как идеал, даже без перехода к замыканию.)