Артиновы модули и точность обратного предела

Наверняка давно прописано и хорошо известно, но не могу сообразить, где искать. Может быть, кто-нибудь помнит?

Пусть R_α -- направленная проективная система колец и сюръективных гомоморфизмов между ними, M_α -- проективная система артиновых модулей над R_α. Тогда первый производный функтор обратного предела lim¹_α M_α (посчитанный в категории проективных систем R_α-модулей или, что все равно, проективных систем абелевых групп) равен нулю.

Набросок доказательства: два производных функтора совпадают, потому что кообразующие инъективные объекты в категории проективных систем модулей (которые легко описать) приспособлены к проективному пределу абелевых групп. Чтобы вычислить lim¹, достаточно вложить нашу проективную систему в инъективную/приспособленную систему модулей/абелевых групп, и посчитать коядро отображения пределов, индуцированного коядром вложения проективных систем.

Будем предполагать, что индексы α образуют частично упорядоченное множество (а не более сложную категорию). Замена одного из M_α на образ отображения M_β → M_α и всех M_γ с γ > α на соответствующий полный прообраз при отображении M_γ → M_α не влияет на интересующие нас проективные пределы. Если итерировать эту процедуру, а потом перейти к проективному пределу проективных систем (по вполне упорядоченному множеству шагов итерации), интересующие проективные пределы все равно не изменятся, поскольку проективные пределы коммутируют с проективными пределами. Но в каждой компоненте номер α такой проективный предел стабилизируется ввиду артиновости. Когда возможности итерировать процедуру исчерпаются, получится проективная система M'_α артиновых модулей и сюръективных отображений между ними. Таким образом, мы всегда можем считать, что отображения в проективной системе M_α сюръективны.

( Read more... )

Артиновы модули и точность обратного предела - 2

Попытаемся продолжить рассуждение про lim¹ артиновых модулей от точки, отмеченной теперь в предыдущем постинге. Пусть M_α → L_α → K_α -- наша точная тройка проективных систем, и пусть (k_α) -- элемент проективного предела K_α. Мы хотим поднять его до элемента (l_α).

Воспользуемся леммой Цорна применительно к следующему частично упорядоченному множеству X. Его элементами являются подмножества D в множестве всех индексов α, вместе с выбранными прообразами l_α элементов k_α для всех α ∈ D. Элементы l_α должны удовлетворять следующему условию. Для любого конечного подмножества S ⊂ D найдется индекс β (не обязательно принадлежащий D), больший всех α ∈ S, и прообраз l'_β ∈ L_β элемента k_β, переходящий в элементы l_α при отображениях L_β → L_α для всех α ∈ S.

Ясно, что в множестве X существуют объединения всех линейно упорядоченных подмножеств. Остается проверить, что при добавлении к подмножеству D индекса γ можно подобрать прообраз l_γ элемента k_γ так, чтобы получился новый элемент множества X, т.е. наложенное нами условие продолжало выполняться.

Заметим, что возможность подобрать для данного конечного множества индексов S, элементов l_α для α ∈ S, и индекса β, большего всех индексов из S, подходящий элемент l'_β не зависит от выбора индекса β. В самом деле, пусть β' > β > α для всех α ∈ S. Тогда если у нас есть подходящий элемент l'_β' ∈ L_β', то можно взять его образ в L_β и получить подходящий элемент l'_β. Наоборот, если есть элемент l_β, то можно выбрать какой-нибудь прообраз элемента k_β' в L_β', спустить его в L_β, разность с элементом l_β рассмотреть как элемент M_β и поднять в M_β', и вычесть из нашего элемента в L_β', получив желаемый элемент l'_β'.

Пусть теперь S -- конечное подмножество в D, и пусть β -- индекс, больший всех элементов из S, и l'_β -- подходящий элемент в L_β, как выше. Рассмотрим множество P_S всех прообразов l_γ элемента k_γ, для которых совокупный набор прообразов l_α и l_γ с индексами из множества S∪{γ} удовлетворяет нашему условию, т.е. для них можно найти индекс δ и подходящий прообраз l_δ элемента k_δ.

Прежде всего покажем, что множество P_S непусто. В самом деле, пусть δ -- любой индекс, больший β и γ. Как мы уже видели выше, прообраз l'_β элемента k_β можно поднять до прообраза l'_γ элемента k_γ. Теперь у элемента l'_δ есть образ в модуле L_γ.

Далее, P_S является аффинным R_γ-подмодулем (т.е. аддитивным смежным классом по некоторому линейному (обыкновенному) R_γ-подмодулю) в L_γ. В самом деле, легко убедиться, что подмножество P_⊂ замкнуто относительно линейных комбинаций с коэффициентами из R_γ, сумма которых равна единице. Наконец, если S' и S'' -- два конечных подмножества в D и S -- их объединение, то аффинный подмодуль P_S содержится в пересечении аффинных подмодулей P_S' и P_S''. Наконец, все подмодули P_S содержатся в одном-единственном смежном классе L_γ по его подмодулю M_γ -- том, который соответствует элементу k_γ.

Из артиновости M_γ следует, что пересечение всех P_S непусто.

Таким образом, мы получили систему прообразов l_α элементов k_α для всех индексов α, согласованную в сформулированном выше смысле. Очевидно, из этого условия следует обычное согласование, т.е. при β > α элемент l_β переходит в l_α при соответствующем отображении в проективной системе L. Доказательство окончено.

Артиновы модули и точность обратного предела: следствия

из http://posic.livejournal.com/685968.html и http://posic.livejournal.com/686151.html

Следствие 1: пусть R_α -- направленная проективная система артиновых колец и сюръективных отображений между ними, и пусть R -- ее проективный предел. Тогда отображение проекции R → R_α сюръективно для каждого α.

Доказательство: рассмотреть короткую точную последовательность проективных систем Ker(R_β→R_α) → R_β → R_α (левых, правых или двусторонних) модулей над R_β, занумерованную всеми индексами β > α при фиксированном α.

Следствие 2: пусть R -- полное отделимое топологическое кольцо, в котором базу окрестностей нуля образуют открытые идеалы, факторкольца по которым артиновы. Пусть J -- замкнутый идеал в R. Тогда факторкольцо R/J полно в фактортопологии (и обладает теми же свойствами).

Доказательство: рассмотреть короткую точную последовательность проективных систем (J+I)/I → R/I → R/(J+I) (левых, правых или двусторонних) модулей над R/I, занумерованную всеми открытыми идеалами I ⊂ R.