![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПопытаемся продолжить рассуждение про lim1 артиновых модулей от точки, отмеченной теперь в предыдущем постинге. Пусть Mα → Lα → Kα -- наша точная тройка проективных систем, и пусть (kα) -- элемент проективного предела Kα. Мы хотим поднять его до элемента (lα).
Воспользуемся леммой Цорна применительно к следующему частично упорядоченному множеству X. Его элементами являются подмножества D в множестве всех индексов α, вместе с выбранными прообразами lα элементов kα для всех α ∈ D. Элементы lα должны удовлетворять следующему условию. Для любого конечного подмножества S ⊂ D найдется индекс β (не обязательно принадлежащий D), больший всех α ∈ S, и прообраз l'β ∈ Lβ элемента kβ, переходящий в элементы lα при отображениях Lβ → Lα для всех α ∈ S.
Ясно, что в множестве X существуют объединения всех линейно упорядоченных подмножеств. Остается проверить, что при добавлении к подмножеству D индекса γ можно подобрать прообраз lγ элемента kγ так, чтобы получился новый элемент множества X, т.е. наложенное нами условие продолжало выполняться.
Заметим, что возможность подобрать для данного конечного множества индексов S, элементов lα для α ∈ S, и индекса β, большего всех индексов из S, подходящий элемент l'β не зависит от выбора индекса β. В самом деле, пусть β' > β > α для всех α ∈ S. Тогда если у нас есть подходящий элемент l'β' ∈ Lβ', то можно взять его образ в Lβ и получить подходящий элемент l'β. Наоборот, если есть элемент lβ, то можно выбрать какой-нибудь прообраз элемента kβ' в Lβ', спустить его в Lβ, разность с элементом lβ рассмотреть как элемент Mβ и поднять в Mβ', и вычесть из нашего элемента в Lβ', получив желаемый элемент l'β'.
Пусть теперь S -- конечное подмножество в D, и пусть β -- индекс, больший всех элементов из S, и l'β -- подходящий элемент в Lβ, как выше. Рассмотрим множество PS всех прообразов lγ элемента kγ, для которых совокупный набор прообразов lα и lγ с индексами из множества S∪{γ} удовлетворяет нашему условию, т.е. для них можно найти индекс δ и подходящий прообраз lδ элемента kδ.
Прежде всего покажем, что множество PS непусто. В самом деле, пусть δ -- любой индекс, больший β и γ. Как мы уже видели выше, прообраз l'β элемента kβ можно поднять до прообраза l'γ элемента kγ. Теперь у элемента l'δ есть образ в модуле Lγ.
Далее, PS является аффинным Rγ-подмодулем (т.е. аддитивным смежным классом по некоторому линейному (обыкновенному) Rγ-подмодулю) в Lγ. В самом деле, легко убедиться, что подмножество P⊂ замкнуто относительно линейных комбинаций с коэффициентами из Rγ, сумма которых равна единице. Наконец, если S' и S'' -- два конечных подмножества в D и S -- их объединение, то аффинный подмодуль PS содержится в пересечении аффинных подмодулей PS' и PS''. Наконец, все подмодули PS содержатся в одном-единственном смежном классе Lγ по его подмодулю Mγ -- том, который соответствует элементу kγ.
Из артиновости Mγ следует, что пересечение всех PS непусто.
Таким образом, мы получили систему прообразов lα элементов kα для всех индексов α, согласованную в сформулированном выше смысле. Очевидно, из этого условия следует обычное согласование, т.е. при β > α элемент lβ переходит в lα при соответствующем отображении в проективной системе L. Доказательство окончено.
Воспользуемся леммой Цорна применительно к следующему частично упорядоченному множеству X. Его элементами являются подмножества D в множестве всех индексов α, вместе с выбранными прообразами lα элементов kα для всех α ∈ D. Элементы lα должны удовлетворять следующему условию. Для любого конечного подмножества S ⊂ D найдется индекс β (не обязательно принадлежащий D), больший всех α ∈ S, и прообраз l'β ∈ Lβ элемента kβ, переходящий в элементы lα при отображениях Lβ → Lα для всех α ∈ S.
Ясно, что в множестве X существуют объединения всех линейно упорядоченных подмножеств. Остается проверить, что при добавлении к подмножеству D индекса γ можно подобрать прообраз lγ элемента kγ так, чтобы получился новый элемент множества X, т.е. наложенное нами условие продолжало выполняться.
Заметим, что возможность подобрать для данного конечного множества индексов S, элементов lα для α ∈ S, и индекса β, большего всех индексов из S, подходящий элемент l'β не зависит от выбора индекса β. В самом деле, пусть β' > β > α для всех α ∈ S. Тогда если у нас есть подходящий элемент l'β' ∈ Lβ', то можно взять его образ в Lβ и получить подходящий элемент l'β. Наоборот, если есть элемент lβ, то можно выбрать какой-нибудь прообраз элемента kβ' в Lβ', спустить его в Lβ, разность с элементом lβ рассмотреть как элемент Mβ и поднять в Mβ', и вычесть из нашего элемента в Lβ', получив желаемый элемент l'β'.
Пусть теперь S -- конечное подмножество в D, и пусть β -- индекс, больший всех элементов из S, и l'β -- подходящий элемент в Lβ, как выше. Рассмотрим множество PS всех прообразов lγ элемента kγ, для которых совокупный набор прообразов lα и lγ с индексами из множества S∪{γ} удовлетворяет нашему условию, т.е. для них можно найти индекс δ и подходящий прообраз lδ элемента kδ.
Прежде всего покажем, что множество PS непусто. В самом деле, пусть δ -- любой индекс, больший β и γ. Как мы уже видели выше, прообраз l'β элемента kβ можно поднять до прообраза l'γ элемента kγ. Теперь у элемента l'δ есть образ в модуле Lγ.
Далее, PS является аффинным Rγ-подмодулем (т.е. аддитивным смежным классом по некоторому линейному (обыкновенному) Rγ-подмодулю) в Lγ. В самом деле, легко убедиться, что подмножество P⊂ замкнуто относительно линейных комбинаций с коэффициентами из Rγ, сумма которых равна единице. Наконец, если S' и S'' -- два конечных подмножества в D и S -- их объединение, то аффинный подмодуль PS содержится в пересечении аффинных подмодулей PS' и PS''. Наконец, все подмодули PS содержатся в одном-единственном смежном классе Lγ по его подмодулю Mγ -- том, который соответствует элементу kγ.
Из артиновости Mγ следует, что пересечение всех PS непусто.
Таким образом, мы получили систему прообразов lα элементов kα для всех индексов α, согласованную в сформулированном выше смысле. Очевидно, из этого условия следует обычное согласование, т.е. при β > α элемент lβ переходит в lα при соответствующем отображении в проективной системе L. Доказательство окончено.
