Артиновы модули и точность обратного предела

[posic]

Наверняка давно прописано и хорошо известно, но не могу сообразить, где искать. Может быть, кто-нибудь помнит?

Пусть R_α -- направленная проективная система колец и сюръективных гомоморфизмов между ними, M_α -- проективная система артиновых модулей над R_α. Тогда первый производный функтор обратного предела lim¹_α M_α (посчитанный в категории проективных систем R_α-модулей или, что все равно, проективных систем абелевых групп) равен нулю.

Набросок доказательства: два производных функтора совпадают, потому что кообразующие инъективные объекты в категории проективных систем модулей (которые легко описать) приспособлены к проективному пределу абелевых групп. Чтобы вычислить lim¹, достаточно вложить нашу проективную систему в инъективную/приспособленную систему модулей/абелевых групп, и посчитать коядро отображения пределов, индуцированного коядром вложения проективных систем.

Будем предполагать, что индексы α образуют частично упорядоченное множество (а не более сложную категорию). Замена одного из M_α на образ отображения M_β → M_α и всех M_γ с γ > α на соответствующий полный прообраз при отображении M_γ → M_α не влияет на интересующие нас проективные пределы. Если итерировать эту процедуру, а потом перейти к проективному пределу проективных систем (по вполне упорядоченному множеству шагов итерации), интересующие проективные пределы все равно не изменятся, поскольку проективные пределы коммутируют с проективными пределами. Но в каждой компоненте номер α такой проективный предел стабилизируется ввиду артиновости. Когда возможности итерировать процедуру исчерпаются, получится проективная система M'_α артиновых модулей и сюръективных отображений между ними. Таким образом, мы всегда можем считать, что отображения в проективной системе M_α сюръективны.

Частично упорядоченное множество α можно доупорядочить до линейного порядка, а потом выбрать там вполне упорядоченное конфинальное подмножество. Рассмотрим минимальный ординал, который можно так получить из частично упорядоченного множества α. Основная часть рассуждения проводится индукцией по этому ординалу (в смысле, предположим, что для всех частично упорядоченных множеств, которым соответствует меньший ординал, мы нужное утверждение уже знаем) одновременно для всех возможных проективных систем M.

Отождествим элементы (какого-нибудь) минимального вполне упорядоченного множества, связанного с частично упорядоченным множеством α, с подмножествами индексов α, строго меньших этого элемента в смысле отношения линейного порядка. Каждому такому подмножеству I сопоставим проективные пределы ограничений наших трех проективных систем на α ∈ I. Проективный предел такого проективного предела L_I по вполне упорядоченному множеству всех I есть проективный предел L_α (предполагая, что в множестве всех α нет максимального элемента относительно частичного порядка). Поэтому достаточно показать, что lim¹_I M_I = 0.

Последнее утверждение следует из известного достаточного условия приспособленности к проективному пределу по вполне упорядоченному множеству индексов: достаточно того, чтобы каждый модуль M_J сюръективно отображался на проективный предел M_I по всем I < J. В нашем случае, достаточно показать, что для любых двух направленных (?), замкнутых относительно перехода к меньшим элементам подмножеств A ⊂ B в множестве индексов α проективный предел M_α по α ∈ B сюръективно отображается на проективных предел M_α по α ∈ A.

Comments

[baaltii1.livejournal.com]

takie veshi dolzhny byt' v Масси У. (W.S.Massey) "Теория гомологий и когомологий" (v prilozhenii)

[posic.livejournal.com]

Посмотрю, спасибо.

[posic.livejournal.com]

Масси в этой книжке, естественно, рассматривает производные обратные пределы только для счетных диаграмм (т.е., попросту, последовательностей). Так я и сам умею.