![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicиз http://posic.livejournal.com/685968.html и http://posic.livejournal.com/686151.html
Следствие 1: пусть Rα -- направленная проективная система артиновых колец и сюръективных отображений между ними, и пусть R -- ее проективный предел. Тогда отображение проекции R → Rα сюръективно для каждого α.
Доказательство: рассмотреть короткую точную последовательность проективных систем Ker(Rβ→Rα) → Rβ → Rα (левых, правых или двусторонних) модулей над Rβ, занумерованную всеми индексами β > α при фиксированном α.
Следствие 2: пусть R -- полное отделимое топологическое кольцо, в котором базу окрестностей нуля образуют открытые идеалы, факторкольца по которым артиновы. Пусть J -- замкнутый идеал в R. Тогда факторкольцо R/J полно в фактортопологии (и обладает теми же свойствами).
Доказательство: рассмотреть короткую точную последовательность проективных систем (J+I)/I → R/I → R/(J+I) (левых, правых или двусторонних) модулей над R/I, занумерованную всеми открытыми идеалами I ⊂ R.
Следствие 1: пусть Rα -- направленная проективная система артиновых колец и сюръективных отображений между ними, и пусть R -- ее проективный предел. Тогда отображение проекции R → Rα сюръективно для каждого α.
Доказательство: рассмотреть короткую точную последовательность проективных систем Ker(Rβ→Rα) → Rβ → Rα (левых, правых или двусторонних) модулей над Rβ, занумерованную всеми индексами β > α при фиксированном α.
Следствие 2: пусть R -- полное отделимое топологическое кольцо, в котором базу окрестностей нуля образуют открытые идеалы, факторкольца по которым артиновы. Пусть J -- замкнутый идеал в R. Тогда факторкольцо R/J полно в фактортопологии (и обладает теми же свойствами).
Доказательство: рассмотреть короткую точную последовательность проективных систем (J+I)/I → R/I → R/(J+I) (левых, правых или двусторонних) модулей над R/I, занумерованную всеми открытыми идеалами I ⊂ R.
