AS-горенштейновы коалгебры и категории Калаби-Яу - 2

Все не так, как я думал. Комодули над AS-горенштейновыми коалгебрами (как и модули над AS-горенштейновыми алгебрами) НЕ образуют категорий Калаби-Яу. Плюньте в наглые глаза тех неучей, что говорят вам обратное.

Правда состоит в том, что на производной категории конечномерных комодулей над AS-горенштейновой коалгеброй функтор Серра является композицией гомологического сдвига на горенштейнову размерность и функтора, индуцированного автоэквивалентностью абелевой категории комодулей. Последняя, на самом деле, индуцирована автоморфизмом AS-горенштейновой коалгебры.

У AS-горенштейновой коалгебры C есть канонический автоморфизм, индуцирующий на Ext_C*(k,k) канонический "фробениусов" автоморфизм алгебры Ext как фробениусовой (супер)алгебры. Подкруткой на этот автоморфизм, наряду с гомологическим сдвигом, как раз и отличаются функторы 1. и 2., описанные здесь.

Единственный случай, который я сейчас вижу, когда можно утверждать, что этот автоморфизм тождественный -- когда DG-алгебру, считающую Ext_C*(k,k), можно связать цепочкой квазиизоморфизмов с какой-то (супер)коммутативной DG-алгеброй. Например, производная категория нильпотентных модулей над нильпотентной алгеброй Ли (упоминаемая по первой ссылке) является Калаби-Яу.

Отчеты обнародованы

Итоговые (включая мой) -- http://www.mccme.ru/pdc/2007/winners.html

Остальные рядом.

Высказался

http://mathoverflow.net/questions/51656/mathematics-of-gun-control

Мантра про кошулевость - 2

Развитие http://posic.livejournal.com/537590.html

Если пытаться доказывать "мантру" как точное утверждение, то возникают как бы два естественных уровня общности. В любом случае можно считать, что X -- это триангулированная категория c абелевой или точной сердцевиной, "когомологии X" -- это кольцо Hom-ов в триангулированной категории между сдвигами объектов из фиксированного набора объектов сердцевины, порождающего в подходящем смысле всю сердцевину, "X является K(\pi,1)" -- это утверждение о совпадении Ext-ов в триангулированной категории и в сердцевине.

В любом случае, основной, как теперь говорят, action будет происходить на уровне сердцевины, а триангулированная категория тут некое бесплатное приложение. Соответственно, развилка связана с природой этой сердцевины.

В простом случае, речь идет о категории комодулей над коалгеброй, а фиксированный набор порождающих объектов состоит из всех неприводимых комодулей. Чтобы было совсем просто, можно ограничиться случаем конильпотентной коалгебры; тогда неприводимый комодуль единственен.

Например, если нас интересуют рациональные когомологии H*(X,Q) топологического пространства X, то речь идет о коалгебре функций на проунипотентном пополнении дискретной группы π₁(X) (а триангулированная категория -- комплексов пучков Q-векторных пространств на X с унипотентными локально постоянными пучками когомологий).

В этих случаях аргумент следует схеме, изложенной по ссылке. Импликация "кошулевость => K(π,1)" доказана в моем диссере (и опирается на работу 1995 года), "кошулевость => квазиформальность" тавтологична, "K(&pi,1) + квазиформальность => кошулевость" вытекает из взаимной обратности бар- и кобар-конструкций для конильпотентных коалгебр.

В сложном случае, под сердцевиной понимается произвольная точная категория, а порождающий набор объектов есть любой набор объектов в ней, порождающий ее с помощью расширений и прямых слагаемых, примерно так. В этом случае, импликация "кошулевость => K(π,1)" доказана в секции 8 длинного текста про мотивы Артина-Тейта.

Остальные две импликации зависят от понятия произвольных ("матричных") операций Масси, и я не уверен, что ясно понимаю, что это значит для кольца Ext-ов между набором объектов точной категории. Еще хуже я себе представляю, к чему сходится соответствующая спектральная последовательность и в каком смысле это нечто является коалгеброй, связанной с набором порождающих объектов точной категории, сидящей в когомологической градуировке 0 (и нулем в остальных когомологических градуировках). Так что это открытый вопрос, и небезынтересный.