Аддитивная версия квазилогарифмического коцикла

Будем пользоваться обозначениями из этого постинга: J -- проконечная группа, изоморфная Z_l (с групповой операцией, записываемой мультипликативно), R -- ее пополненное групповое кольцо, x -- образующая J.

Аддитивная версия квазилогарифмического коцикла ψ -- это коцикл φ группы J со значениями в аддитивной группе кольца R, на которой J действует умножениями. Для любого неотрицательного целого числа n, величина φ(x,n) определяется как сумма 1 + x + … + x^n-1 ∈ R. Легко видеть, что функция φ продолжается по непрерывности на n, принадлежащие Z_l. Она удовлетворяет уравнению xⁿφ(x,m) + φ(x,n) = φ(x,n+m). Для n из Z_l* имеем φ(x,n) = ψ'(x,n).

Теперь определим отображение φ_x: J → R правилом φ_x(xⁿ) = φ(x,n). Тогда отображение φ_x удовлетворяет уравнению aφ_x(b) + φ_x(a) = φ_x(ab), т.е. является 1-коциклом J с коэффициентами в R, как и было обещано.

Аналогичному уравнению удовлетворяет любая функция вида f(a) = aθ − θ, где θ -- какой-нибудь элемент из R. Чтобы наш коцикл φ_x приобрел такой вид, надо было бы взять θ = 1/(x−1), но такого элемента в кольце R нет (элемент x−1 топологически нильпотентен в R).

При замене образующей x, коцикл φ_x трансформируется по правилу φ_xⁿ(a)ψ'(x,n) = φ_x(a).

Мантра про кошулевость

Нечто вроде ответа на вопрос П.Д. на сегодняшнем моем докладе. Всегда знал, но на месте, как водится, не сообразил и не вспомнил.

Кошулевость когомологий чего-либо = (1) K(π,1)-ность этого чего-либо + (2) "квазиформальность" когомологий, в смысле отсутствия операций Масси в них.

Например, когомологии проконечной группы G с постоянными коэффициентами Z/l кошулевы титтк (1) они совпадают с когомологиями максимальной про-l-факторгруппы G^(l) группы G и (2) операции Масси (в смысле высшие дифференциалы в спектралке от когомологий бар-конструкции когомологий к когомологиям бар-конструкции DG-алгебры, вычисляющей когомологии) тривиальны.

Доказательство (в конкретном случае проконечной группы): кошулевость => (1) прописано в моей работе про гипотезу Ф.Б.; кошулевость => (2) очевидно по соображениям размерности, там неоткуда и некуда бить этим дифференциалам; (1) + (2) влекут кошулевость -- достаточно рассмотреть случай, когда G -- про-l-группа, в этом случае когомологии бар-конструкции DG-алгебры, вычисляющей когомологии G = групповой коалгебре G (поскольку эта коалгебра конильпотентна; см. мой текст "Два рода производных категорий ..."), т.е. сосредоточены в градуировке 0, что и требуется.

Связь между кошулевостью и чистотой (в смысле весов, что в l-адических когомологиях/теории Ходжа/мотивах), видимо, идет через пункт (2). Если когомологии чисты, то операций Масси в них быть не может (поскольку они бы не сохраняли веса).

Я не вижу, как бы можно было выводить (1) из чистоты. Но может быть, во многих случаях K(π,1)-ность известна из других соображений. Например, МБК-гипотезу достаточно доказывать для случая, когда абсолютная группа Галуа -- про-l-группа (как следует из наличия трансферов в милноровской K-теории и когомологиях Галуа).

P.S. Попытка использовать эти соображения при доказательстве МБК-гипотезы и ее аналогов из соображений мотивных весов упирается в две очевидные проблемы: 1. нет весов для когомологий с конечными коэффициентами (это бы еще куда ни шло) и (главное) 2. нет чистоты для когомологий некомпактных многообразий -- например, когомологии общей точки кривой ни в малейшей степени не чисты.

Проблема, таким образом, сводится к простому вопросу. Мы знаем, что такое чистота для гладких компактных многообразий над алгебраически замкнутыми полями, но что такое чистота для спектров произвольных полей?

P.P.S. Кстати сказать, я сильно сомневаюсь, что когомологии Галуа произвольного поля (содержащего нужный корень из единицы) с постоянными коэффициентами Z/l -- формальны (что означало бы существование кошулевой градуировки на групповой коалгебре максимальной про-l-факторгруппы группы Галуа). "Квазиформальны", в указанном выше смысле, да, но вряд ли формальны. Надо бы подобрать какой-нибудь простой контрпример...

Ну да, конечно. Достаточно рассмотреть какую-нибудь некоммутативную максимальную про-l-факторгруппу Галуа, когомологии которой есть внешняя алгебра -- среди групп Галуа p-адических полей полно таких примеров. Вот среди полей, содержащих алгебраически замкнутое подполе, контрпример так просто не подберешь.

P.P.P.S. В контексте рациональных когомологий топологических пространств, про основное утверждение этого постинга есть статья Юзвинского-Пападимы, JPAA 144 (1999) (см. также домашнюю страницу С.Ю.). Жаль только, что ее авторы пользуются формальностью (которая здесь не по делу) вместо нужной квазиформальности.