![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicБудем пользоваться обозначениями из этого постинга: J -- проконечная группа, изоморфная Zl (с групповой операцией, записываемой мультипликативно), R -- ее пополненное групповое кольцо, x -- образующая J.
Аддитивная версия квазилогарифмического коцикла ψ -- это коцикл φ группы J со значениями в аддитивной группе кольца R, на которой J действует умножениями. Для любого неотрицательного целого числа n, величина φ(x,n) определяется как сумма 1 + x + … + xn-1 ∈ R. Легко видеть, что функция φ продолжается по непрерывности на n, принадлежащие Zl. Она удовлетворяет уравнению xnφ(x,m) + φ(x,n) = φ(x,n+m). Для n из Zl* имеем φ(x,n) = ψ'(x,n).
Теперь определим отображение φx: J → R правилом φx(xn) = φ(x,n). Тогда отображение φx удовлетворяет уравнению aφx(b) + φx(a) = φx(ab), т.е. является 1-коциклом J с коэффициентами в R, как и было обещано.
Аналогичному уравнению удовлетворяет любая функция вида f(a) = aθ − θ, где θ -- какой-нибудь элемент из R. Чтобы наш коцикл φx приобрел такой вид, надо было бы взять θ = 1/(x−1), но такого элемента в кольце R нет (элемент x−1 топологически нильпотентен в R).
При замене образующей x, коцикл φx трансформируется по правилу φxn(a)ψ'(x,n) = φx(a).
Аддитивная версия квазилогарифмического коцикла ψ -- это коцикл φ группы J со значениями в аддитивной группе кольца R, на которой J действует умножениями. Для любого неотрицательного целого числа n, величина φ(x,n) определяется как сумма 1 + x + … + xn-1 ∈ R. Легко видеть, что функция φ продолжается по непрерывности на n, принадлежащие Zl. Она удовлетворяет уравнению xnφ(x,m) + φ(x,n) = φ(x,n+m). Для n из Zl* имеем φ(x,n) = ψ'(x,n).
Теперь определим отображение φx: J → R правилом φx(xn) = φ(x,n). Тогда отображение φx удовлетворяет уравнению aφx(b) + φx(a) = φx(ab), т.е. является 1-коциклом J с коэффициентами в R, как и было обещано.
Аналогичному уравнению удовлетворяет любая функция вида f(a) = aθ − θ, где θ -- какой-нибудь элемент из R. Чтобы наш коцикл φx приобрел такой вид, надо было бы взять θ = 1/(x−1), но такого элемента в кольце R нет (элемент x−1 топологически нильпотентен в R).
При замене образующей x, коцикл φx трансформируется по правилу φxn(a)ψ'(x,n) = φx(a).
