Мантра про кошулевость - 2
Jan. 11th, 2011 04:29 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicРазвитие http://posic.livejournal.com/537590.html
Если пытаться доказывать "мантру" как точное утверждение, то возникают как бы два естественных уровня общности. В любом случае можно считать, что X -- это триангулированная категория c абелевой или точной сердцевиной, "когомологии X" -- это кольцо Hom-ов в триангулированной категории между сдвигами объектов из фиксированного набора объектов сердцевины, порождающего в подходящем смысле всю сердцевину, "X является K(\pi,1)" -- это утверждение о совпадении Ext-ов в триангулированной категории и в сердцевине.
В любом случае, основной, как теперь говорят, action будет происходить на уровне сердцевины, а триангулированная категория тут некое бесплатное приложение. Соответственно, развилка связана с природой этой сердцевины.
В простом случае, речь идет о категории комодулей над коалгеброй, а фиксированный набор порождающих объектов состоит из всех неприводимых комодулей. Чтобы было совсем просто, можно ограничиться случаем конильпотентной коалгебры; тогда неприводимый комодуль единственен.
Например, если нас интересуют рациональные когомологии H*(X,Q) топологического пространства X, то речь идет о коалгебре функций на проунипотентном пополнении дискретной группы π1(X) (а триангулированная категория -- комплексов пучков Q-векторных пространств на X с унипотентными локально постоянными пучками когомологий).
В этих случаях аргумент следует схеме, изложенной по ссылке. Импликация "кошулевость => K(π,1)" доказана в моем диссере (и опирается на работу 1995 года), "кошулевость => квазиформальность" тавтологична, "K(&pi,1) + квазиформальность => кошулевость" вытекает из взаимной обратности бар- и кобар-конструкций для конильпотентных коалгебр.
В сложном случае, под сердцевиной понимается произвольная точная категория, а порождающий набор объектов есть любой набор объектов в ней, порождающий ее с помощью расширений и прямых слагаемых, примерно так. В этом случае, импликация "кошулевость => K(π,1)" доказана в секции 8 длинного текста про мотивы Артина-Тейта.
Остальные две импликации зависят от понятия произвольных ("матричных") операций Масси, и я не уверен, что ясно понимаю, что это значит для кольца Ext-ов между набором объектов точной категории. Еще хуже я себе представляю, к чему сходится соответствующая спектральная последовательность и в каком смысле это нечто является коалгеброй, связанной с набором порождающих объектов точной категории, сидящей в когомологической градуировке 0 (и нулем в остальных когомологических градуировках). Так что это открытый вопрос, и небезынтересный.
Если пытаться доказывать "мантру" как точное утверждение, то возникают как бы два естественных уровня общности. В любом случае можно считать, что X -- это триангулированная категория c абелевой или точной сердцевиной, "когомологии X" -- это кольцо Hom-ов в триангулированной категории между сдвигами объектов из фиксированного набора объектов сердцевины, порождающего в подходящем смысле всю сердцевину, "X является K(\pi,1)" -- это утверждение о совпадении Ext-ов в триангулированной категории и в сердцевине.
В любом случае, основной, как теперь говорят, action будет происходить на уровне сердцевины, а триангулированная категория тут некое бесплатное приложение. Соответственно, развилка связана с природой этой сердцевины.
В простом случае, речь идет о категории комодулей над коалгеброй, а фиксированный набор порождающих объектов состоит из всех неприводимых комодулей. Чтобы было совсем просто, можно ограничиться случаем конильпотентной коалгебры; тогда неприводимый комодуль единственен.
Например, если нас интересуют рациональные когомологии H*(X,Q) топологического пространства X, то речь идет о коалгебре функций на проунипотентном пополнении дискретной группы π1(X) (а триангулированная категория -- комплексов пучков Q-векторных пространств на X с унипотентными локально постоянными пучками когомологий).
В этих случаях аргумент следует схеме, изложенной по ссылке. Импликация "кошулевость => K(π,1)" доказана в моем диссере (и опирается на работу 1995 года), "кошулевость => квазиформальность" тавтологична, "K(&pi,1) + квазиформальность => кошулевость" вытекает из взаимной обратности бар- и кобар-конструкций для конильпотентных коалгебр.
В сложном случае, под сердцевиной понимается произвольная точная категория, а порождающий набор объектов есть любой набор объектов в ней, порождающий ее с помощью расширений и прямых слагаемых, примерно так. В этом случае, импликация "кошулевость => K(π,1)" доказана в секции 8 длинного текста про мотивы Артина-Тейта.
Остальные две импликации зависят от понятия произвольных ("матричных") операций Масси, и я не уверен, что ясно понимаю, что это значит для кольца Ext-ов между набором объектов точной категории. Еще хуже я себе представляю, к чему сходится соответствующая спектральная последовательность и в каком смысле это нечто является коалгеброй, связанной с набором порождающих объектов точной категории, сидящей в когомологической градуировке 0 (и нулем в остальных когомологических градуировках). Так что это открытый вопрос, и небезынтересный.
