Опять об мотивные пучки с конечными коэффициентами

Может быть, попробовать по-другому? Скажем, обобщать конструкцию не тейтовских, а сразу артин-тейтовских мотивов над полем.

Пусть X -- гладкое многообразие над полем F, характеристика которого не делит целое число m. Рассмотрим категорию конечно фильтрованных этальных пучков Z/m-модулей над X, присоединенные факторы которых суть пучки Z/m-модулей, ассоциированные с констуктивными пучками множеств, подкрученные на m-циклотомические пучки. Определим на этой категории точную структуру, в которой тройка пучков точна, если ее тройки присоединенных факторов по фильтрации точны и в слое над каждой схемной точкой X расщепимы.

В производной категории этой точной категории рассмотрим триангулированную подкатегорию, натянутую на пучки Z/m-модулей, ассоциированные с локально-постоянными пучками множеств (т.е., собственными этальными схемами над X), циклотомически подкрученными и помещенными в соответствующую компоненту фильтрации. Это похоже на триангулированную категорию мотивов Артина-Тейта над X?

Техническое преимущество этой конструкции в том, что как мне пока что кажется, на таких точных категориях могут действовать функторы прямого образа с компактным носителем при квазиконечных этальных морфизмах, наряду с функторами обратного образа при всех морфизмах гладких многообразий над F. (На точных категориях из моей предыдущей конструкции действовали только продолжения нулем при открытых вложениях, чего мне не хватало при попытке использовать топологию Нисневича.)

Другое, более моральное преимущество этой конструкции перед предыдущей в том, что у нее более "мотивный" привкус. Все-таки пучки Z/m-модулей в топологии Зарисского -- это что-то такое не очень "мотивное". Даже если ограничиваться пучками, поднятыми из топологии Зарисского, пучки Z/m-модулей, ассоциированные с пучками множеств, в чем-то "мотивнее", чем произвольные пучки Z/m-модулей.

Никогда бы не подумал...

Блог Доктора Бэйзила ^TM


Блог Др Бэйзила ^TM


Блог Др Бэйзила ^TM

То в жар, то в холод

Теперь мне кажется, что моя последняя конструкция является хорошим кандидатом в триангулированную категорию мотивных пучков с конечными коэффициентами, порожденную мотивами многообразий относительной размерности 0, подкрученными на мотивы Тейта (все -- над фиксированным гладким многообразием). Неэтальные многообразия относительной размерности 0, конечно, надо разрешать как-то, чтобы уместить их в эту категорию (скажем, просто разбивать в объединение стратов, этальных над своими образами, которые к тому же должны быть гладки). Или, может быть, это скорее мотивы с компактным носителем многообразий относительной размерности 0, и их категория отличается от категории обычных мотивов таких многообразий?

Так или иначе, если ограничиться просто Ext-ами между сдвигами локально постоянных пучков множеств, или даже Ext-ами из произвольных пучков множеств в сдвиги локально постоянных, то мне сейчас кажется, что мое рассуждение проходит и доказывает их изоморфизм с тем, что предсказывает гипотеза Бейлинсона-Лихтенбаума. В предположении кошулевости больших колец, описывающих мотивы Артина-Тейта над полями (все сразу, т.е. без ограничения сверху на допускаемые конечные расширения поля).

Дальнейшее продумывание сего предмета следует начать с изучения категорий (конструктивных) пучков множеств в этальной топологии. Т.е., попросту, топосов.

P.S. Собственно, на первых порах можно обойтись без пучков множеств, просто заменив "пучки Z/m-модулей, ассоциированные с пучками множеств" на "продолжения нулем постоянных пучков Z/m с этальных морфизмов". Тогда на таких точных категориях фильтрованных пучков перестанут действовать прямые образы при замкнутых вложениях, которые, конечно, приятно было бы иметь, но в вычислении Ext-ов, которое я имею в виду, они, кажется, не используются. Можно для начала попробовать убедиться, что это вычисление все-таки проходит.