То в жар, то в холод

[posic]

Теперь мне кажется, что моя последняя конструкция является хорошим кандидатом в триангулированную категорию мотивных пучков с конечными коэффициентами, порожденную мотивами многообразий относительной размерности 0, подкрученными на мотивы Тейта (все -- над фиксированным гладким многообразием). Неэтальные многообразия относительной размерности 0, конечно, надо разрешать как-то, чтобы уместить их в эту категорию (скажем, просто разбивать в объединение стратов, этальных над своими образами, которые к тому же должны быть гладки). Или, может быть, это скорее мотивы с компактным носителем многообразий относительной размерности 0, и их категория отличается от категории обычных мотивов таких многообразий?

Так или иначе, если ограничиться просто Ext-ами между сдвигами локально постоянных пучков множеств, или даже Ext-ами из произвольных пучков множеств в сдвиги локально постоянных, то мне сейчас кажется, что мое рассуждение проходит и доказывает их изоморфизм с тем, что предсказывает гипотеза Бейлинсона-Лихтенбаума. В предположении кошулевости больших колец, описывающих мотивы Артина-Тейта над полями (все сразу, т.е. без ограничения сверху на допускаемые конечные расширения поля).

Дальнейшее продумывание сего предмета следует начать с изучения категорий (конструктивных) пучков множеств в этальной топологии. Т.е., попросту, топосов.

P.S. Собственно, на первых порах можно обойтись без пучков множеств, просто заменив "пучки Z/m-модулей, ассоциированные с пучками множеств" на "продолжения нулем постоянных пучков Z/m с этальных морфизмов". Тогда на таких точных категориях фильтрованных пучков перестанут действовать прямые образы при замкнутых вложениях, которые, конечно, приятно было бы иметь, но в вычислении Ext-ов, которое я имею в виду, они, кажется, не используются. Можно для начала попробовать убедиться, что это вычисление все-таки проходит.

Comments

[misha2.livejournal.com]

А как должен быть связан такой относительный мотив с абсолютными мотивами самого многообразия и базы?

[posic.livejournal.com]

Это объекты разных категорий. Под относительным мотивом здесь понимается мотивный пучок. Т.е. есть морфизм X → Y, есть когомологии ("мотив") X, есть когомологии Y, а есть еще производный прямой образ постоянного пучка с X на Y ("относительный мотив X над Y").

[misha2.livejournal.com]

Как я понимаю, в хороших случаях последнее есть пучок мотивов слоев. И раз когомологии базы, слоя и самого многообразия связаны между собой спектралкой (а в относительной размерности 0 даже проще), то и эти 3 мотива должны быть связаны.

[posic.livejournal.com]

Спектральная последовательность расслоения как некая конструкция "связывающая когомологии слоя, базы и тотального пространства" существует в предположении, что когомологии всех слоев одинаковы (фундаментальная группа базы тривиально действует в когомологиях слоя и т.п.). В алгебраической геометрии это условие редко выполнено.

[misha2.livejournal.com]

Мне казалось, всегда есть спектральная последовательность, просто ее первый член в общем случае - когомологии базы с коэффициентами в пучке когомологий слоя, а не просто в когомологиях слоя.

[posic.livejournal.com]

Ну конечно, есть спектральная последовательность. Просто про нее нельзя сказать, что она "связывает когомологии слоя, базы и тотального пространства" (за отсутствием однозначно определенного "слоя").

Если угодно, из категории мотивных пучков на Y должен быть функтор "прямого образа в точку" в категорию мотивов над полем. Этот функтор должен переводить относительный мотив (мотивный пучок) X над Y в (абсолютный) мотив X (над полем). Это отвечает на ваш вопрос?

[misha2.livejournal.com]

Похоже, что да