Классическая K(π,1)-гипотеза

Продолжение http://posic.livejournal.com/391923.html

Пусть A -- положительно внутренне градуированная DG-алгебра над полем k (если это почему-либо помогает, можно дополнительно предположить, что каждая ее компонента ограничена сверху в когомологической градуировке). Пусть D -- полная триангулированная подкатегория, порожденная объектами A(n) в производной категории D(A-mod) внутренне градуированных DG-модулей над A. Пусть M ⊂ D -- полная подкатегория, состоящая из итерированных расширений объектов A(n).

Пусть C -- приведенная бар-конструкция DG-алгебры A; тогда C -- положительно внутренне градуированная DG-коалгебра над k. Триангулированная категория D вкладывается в (ко)производную категорию внутренне градуированных DG-комодулей над C; объектам A(n) при этом соответствуют объекты k(n). Это все понятно, но непонятно другое.

Гипотеза: 1) полная подкатегория M допускает глупые фильтрации тогда и только тогда, когда DG-коалгебра C не имеет когомологий в положительных когомологических степенях;

2) M является сердцевиной t-структуры на D тогда и только тогда, когда DG-коалгебра C не имеет когомологий в отрицательных когомологических степенях; [Update: в самом деле, из взаимной обратности бар- и кобар-конструкций сразу следует, что A не имеет когомологий в неположительных степенях тогда и только тогда, когда C не имеет когомологий в отрицательных степенях.]

3) хорошо бы пересказать условие отсутствия отрицательных Ext'ов между объектами M в терминах когомологий C -- что-то типа того, что их нет в степенях, меньших минус единицы, плюс, может быть, какое-то дополнительное условие. [Update: дополнительное условие нужно с другой стороны -- отсутствие отрицательных Ext'ов плюс сильные дополнительные ограничения на нулевые эквивалентны отсутствию когомологий у C в степенях, меньших минус единицы.]

Наиболее интересен и непонятен пункт 1).

MVD гарантирен порядок унд спокойствий!

http://oleg-kozyrev.livejournal.com/2858317.html

Граждане, не обижайте ментов

http://lj.rossia.org/users/aculeata/1035620.html

Глупые фильтрации DG-(ко)модулей

Из найденных в ящике стола бумажек, предположительно, 1999 года.

Пусть R -- DG-кольцо, D(R) -- производная категория левых DG-модулей над R. Обозначим через D(R)^≤0 и D(R)^≥0 полные подкатегории DG-модулей когомологиями, сосредоточенными в неположительных и неотрицательных степенях, соответственно, в D(R). Тогда D(R) = D(R)^≥1 * D(R)^≤0 тогда и только тогда, когда у R нет когомологий в отрицательных степенях.

Доказательство: только тогда -- использовать предположение, что DG-модуль R над R является элементом класса D(R)^≥0 * D(R)^≤−1.

Тогда: в любой DG-модуль M над R есть отображение из DG-модуля P c когомологиями только в положительных степенях, сюрьективное на всех когомологиях в положительных степенях (взять за P прямую сумму сдвигов DG-модуля R над R). Рассмотреть конус этого отображения, применить к нему ту же конструкцию, и так итерировать, а потом перейти к прямому пределу.

Утверждается (но этого я еще не проверял), что двойственное высказывание справедливо для производной категории DG-комодулей над положительно внутренне градуированной DG-коалгеброй, сосредоточенных в ограниченном отрезке внутренних градуировок.

Напомним (выношу из-под замка), что DG-алгебра с когомологиями в неотрицательных когомологических степенях не всегда квазиизоморфна DG-алгебре с компонентами в неотрицательных когомологических степенях. Причем наличие положительной внутренней градуировки эту проблему не решает. Достаточно рассмотреть произведение Масси трех элементов x,y,z, где x и y сидят в когомологической градуировке ноль, а z -- в положительной. DG-коалгебра с когомологиями в неположительных когомологических степенях, соответственно, то же самое.

Очень хороший текст об Арнольде

http://yakovenko.wordpress.com/2010/06/12/vladimir-igorevich-arnold-sad-birthday/

via http://avzel.blogspot.com/2010/06/sergei-yakovenko-on-arnold.html