Глупые фильтрации DG-(ко)модулей
Jun. 12th, 2010 08:58 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicИз найденных в ящике стола бумажек, предположительно, 1999 года.
Пусть R -- DG-кольцо, D(R) -- производная категория левых DG-модулей над R. Обозначим через D(R)≤0 и D(R)≥0 полные подкатегории DG-модулей когомологиями, сосредоточенными в неположительных и неотрицательных степенях, соответственно, в D(R). Тогда D(R) = D(R)≥1 * D(R)≤0 тогда и только тогда, когда у R нет когомологий в отрицательных степенях.
Доказательство: только тогда -- использовать предположение, что DG-модуль R над R является элементом класса D(R)≥0 * D(R)≤−1.
Тогда: в любой DG-модуль M над R есть отображение из DG-модуля P c когомологиями только в положительных степенях, сюрьективное на всех когомологиях в положительных степенях (взять за P прямую сумму сдвигов DG-модуля R над R). Рассмотреть конус этого отображения, применить к нему ту же конструкцию, и так итерировать, а потом перейти к прямому пределу.
Утверждается (но этого я еще не проверял), что двойственное высказывание справедливо для производной категории DG-комодулей над положительно внутренне градуированной DG-коалгеброй, сосредоточенных в ограниченном отрезке внутренних градуировок.
Напомним (выношу из-под замка), что DG-алгебра с когомологиями в неотрицательных когомологических степенях не всегда квазиизоморфна DG-алгебре с компонентами в неотрицательных когомологических степенях. Причем наличие положительной внутренней градуировки эту проблему не решает. Достаточно рассмотреть произведение Масси трех элементов x,y,z, где x и y сидят в когомологической градуировке ноль, а z -- в положительной. DG-коалгебра с когомологиями в неположительных когомологических степенях, соответственно, то же самое.
Пусть R -- DG-кольцо, D(R) -- производная категория левых DG-модулей над R. Обозначим через D(R)≤0 и D(R)≥0 полные подкатегории DG-модулей когомологиями, сосредоточенными в неположительных и неотрицательных степенях, соответственно, в D(R). Тогда D(R) = D(R)≥1 * D(R)≤0 тогда и только тогда, когда у R нет когомологий в отрицательных степенях.
Доказательство: только тогда -- использовать предположение, что DG-модуль R над R является элементом класса D(R)≥0 * D(R)≤−1.
Тогда: в любой DG-модуль M над R есть отображение из DG-модуля P c когомологиями только в положительных степенях, сюрьективное на всех когомологиях в положительных степенях (взять за P прямую сумму сдвигов DG-модуля R над R). Рассмотреть конус этого отображения, применить к нему ту же конструкцию, и так итерировать, а потом перейти к прямому пределу.
Утверждается (но этого я еще не проверял), что двойственное высказывание справедливо для производной категории DG-комодулей над положительно внутренне градуированной DG-коалгеброй, сосредоточенных в ограниченном отрезке внутренних градуировок.
Напомним (выношу из-под замка), что DG-алгебра с когомологиями в неотрицательных когомологических степенях не всегда квазиизоморфна DG-алгебре с компонентами в неотрицательных когомологических степенях. Причем наличие положительной внутренней градуировки эту проблему не решает. Достаточно рассмотреть произведение Масси трех элементов x,y,z, где x и y сидят в когомологической градуировке ноль, а z -- в положительной. DG-коалгебра с когомологиями в неположительных когомологических степенях, соответственно, то же самое.
