Полуварианты представления локально компактной вполне несвязной группы

Пусть G — топологическая группа, H — проконечная открытая подгруппа в G, и M — гладкий G-модуль (т.е., стабилизатор каждого элемента M открыт в G). Тогда (G,H)-полуварианты M определяются как коядро некоторого отображения (Ind_G,HM)^H → M^H, где слева стоят Н-инварианты G-модуля, индуцированного с M как H-модуля. Отображение это является разностью двух: одно получается переходом к H-инвариантам в очевидном отображении G-действия m⋅g→m^g; другое зависит только от структуры H-модуля на M. Определяется это второе отображение следующей ужасной формулой.

Выберем сечение g: H\G→G отображения факторизации G→H\G. Произвольный элемент модуля Ind_G,HM однозначно записывается в виде ∑_x∈H\G  m_x⋅g(x). Образом H-инвариантного элемента указанного вида при искомом отображении является элемент ∑_{y∈H\G: g(y)⁻¹=h⁻¹g(x)}  m_x^h группы M. Явным вычислением проверяется, что не только вся эта сумма, но даже отдельное слагаемое, связанное с элементом y∈H\G, не зависит от выбора сечения g. Поскольку отображение определено теперь инвариантным образом, оно коммутирует с действием H автоморфизмами ситуации, и следовательно принимает значения в H-инвариантах M.

Update: построенное отображение (Ind_G,HM)^H → M^H, вообще говоря, не согласовано с очевидным отображением (Ind_G,HM)_H → M_H: эта диаграмма коммутативна только когда G унимодулярна! Если порядок H обратим в M, то (G,H)-полуварианты M отождествляются с коинвариантами подкрученного на модулярный характер действия G на M.

Еще о локально компактной вполне несвязной группе

Для любой открытой проконечной подгруппы H в топологической группе G, локально постоянные целочисленные функции с компактным носителем на G образуют полуалгебру S(G,H) над коалгеброй C(H) локально постоянных функций на H. Полумодули над этой полуалгеброй есть гладкие G-модули; таким образом, все полуалгебры S(G,H) для разных H Морита-эквивалентны.

Контрамодули над G — это просто контрамодули над топологической алгеброй A(G) мер с компактным носителем на G (целочисленно-значных, конечно-аддитивных, определенных на открытых подмножествах G). Двусторонние идеалы мер, аннулирующих функции, биинвариантые относительно открытой подгруппы, образуют в этой алгебре базу окрестностей нуля. Предположительно, контрамодули над A(G) — это то же самое, что полуконтрамодули над S(G,H).

Дополнение: если H₁⊃H₂ — открытые компактные подгруппы G, то (G,H₁)-полуварианты и (G,H₂)-полуварианты G-модуля M естественно изоморфны, если M как G-модуль индуцирован с H₂-модуля или M как H₁-модуль коиндуцирован с тривиальной подгруппы {e}.