![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть G — топологическая группа, H — проконечная открытая подгруппа в G, и M — гладкий G-модуль (т.е., стабилизатор каждого элемента M открыт в G). Тогда (G,H)-полуварианты M определяются как коядро некоторого отображения (IndG,HM)H → MH, где слева стоят Н-инварианты G-модуля, индуцированного с M как H-модуля. Отображение это является разностью двух: одно получается переходом к H-инвариантам в очевидном отображении G-действия m⋅g→mg; другое зависит только от структуры H-модуля на M. Определяется это второе отображение следующей ужасной формулой.
Выберем сечение g: H\G→G отображения факторизации G→H\G. Произвольный элемент модуля IndG,HM однозначно записывается в виде ∑x∈H\G mx⋅g(x). Образом H-инвариантного элемента указанного вида при искомом отображении является элемент ∑y∈H\G: g(y)−1=h−1g(x) mxh группы M. Явным вычислением проверяется, что не только вся эта сумма, но даже отдельное слагаемое, связанное с элементом y∈H\G, не зависит от выбора сечения g. Поскольку отображение определено теперь инвариантным образом, оно коммутирует с действием H автоморфизмами ситуации, и следовательно принимает значения в H-инвариантах M.
Update: построенное отображение (IndG,HM)H → MH, вообще говоря, не согласовано с очевидным отображением (IndG,HM)H → MH: эта диаграмма коммутативна только когда G унимодулярна! Если порядок H обратим в M, то (G,H)-полуварианты M отождествляются с коинвариантами подкрученного на модулярный характер действия G на M.
Выберем сечение g: H\G→G отображения факторизации G→H\G. Произвольный элемент модуля IndG,HM однозначно записывается в виде ∑x∈H\G mx⋅g(x). Образом H-инвариантного элемента указанного вида при искомом отображении является элемент ∑y∈H\G: g(y)−1=h−1g(x) mxh группы M. Явным вычислением проверяется, что не только вся эта сумма, но даже отдельное слагаемое, связанное с элементом y∈H\G, не зависит от выбора сечения g. Поскольку отображение определено теперь инвариантным образом, оно коммутирует с действием H автоморфизмами ситуации, и следовательно принимает значения в H-инвариантах M.
Update: построенное отображение (IndG,HM)H → MH, вообще говоря, не согласовано с очевидным отображением (IndG,HM)H → MH: эта диаграмма коммутативна только когда G унимодулярна! Если порядок H обратим в M, то (G,H)-полуварианты M отождествляются с коинвариантами подкрученного на модулярный характер действия G на M.
