Контрамодули над топологическими кольцами

Над полным топологическим кольцом A (подразумевается ассоциативное кольцо с топологией, такое что отображения вычитания и умножения являются непрерывными функциями двух переменных) можно определить левые контрамодули, если открытые правые идеалы образуют в нем базу окрестностей нуля. Делается это так: кольцу A и множеству X сопоставляется множество A[X] бесконечных линейных комбинаций элементов X с коэффициентами, сходящимися в A к нулю. Другими словами, элементом A[X] является формальная сумма вида ∑_x∈X a_xx, где для любой открытой окрестности нуля U⊂A лишь конечное число a_x не принадлежит U. Имеется очевидное вложение X → A[X]. Если открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля в A, то имеется кроме того отображение "раскрытия скобок" A[A[X]] → A[X], сопоставляющее формальную сумму каждой формальной сумме формальных сумм. Таким образом, на функторе X→A[X] имеется структура монады на категории множеств. Контрамодулем над A называется модуль над этой монадой, т.е. множество P вместе с отображением A[P] → P, удовлетворяющим аксиомам ассоциативности и единицы. Очевидно, каждый контрамодуль над A является (нетопологическим) A-модулем. Следовало бы проверить, что категория контрамодулей абелева (причем забывающий функтор из нее в категорию A-модулей точен и сохраняет бесконечные произведения).

Для сравнения: если открытые левые идеалы образуют базу топологии A, то имеет смысл рассматривать дискретные левые A-модули M (для которых отображение действия непрерывно в дискретной топологии M). [Саша Б.]

Update: Когда же A является алгеброй над полем, вместо A[X] можно рассматривать монаду A⊗^X = lim A/U⊗X на категории векторных пространств (где обратный предел берется по всем открытым правым идеалам A). Надо бы научиться проверять эквивалентность этих двух определений. (UUpdate 14.05.08: это несложно; отображение A[X] → A⊗^X сюръективно и нужно только показать, что его ядро переводится отображением контрадействия в ноль; для этого полезно выбрать базис I в X как векторном пространстве и заметить, что A[I] изоморфно A⊗^X.)

Контрамодули над топологическими кольцами Ли

Продолжение этого и этого. Вот предварительное определение контрамодуля над произвольным полным топологическим кольцом Ли. ( Read more... )

В случае, когда g — полная топологическая алгебра Ли над полем k, в которой открытые k-векторные подпространства образуют базу окрестностей нуля, можно дать другое определение контрамодуля над g. А именно, контрамодуль P — это k-векторное пространство, снабженное k-линейным отображением g⊗^P→P (обозначение из постинга по ссылке), удовлетворяющим следующей форме тождества Якоби. Пусть g⊗*g обозначает тензорное произведение, пополненное по такой топологии, что билинейные непрерывные отображения из g×g биективно соответствуют линейным непрерывным отображениям из g⊗*g [Саша Б.]. Требуется, чтобы сумма трех отображений из (g⊗*g)⊗^P в g⊗^P имела нулевую композицию с отображением контрадействия g⊗^P→P. Из этих трех отображений, одно просто индуцировано отображением коммутатора g⊗*g→g, а два других определяются в терминах отображения контрадействия g⊗^P→P и естественного отображения (g⊗*g)⊗^P → g⊗^(g⊗^P). Чтобы построить последнее, можно заметить, что для любого открытого подпространства U⊂g пространство g/U⊗*g есть непополненное тензорное произведение g/U⊗g, снабженное топологией прямого предела по конечномерным подпространствам g/U и ⊗^-произведение коммутирует с топологическими прямыми пределами по первому аргументу.

Тензорное произведение контрамодулей (неожиданное)

Я все же полагаю, что ни для коколец, ни для полуалгебр такую штуку определить нельзя; однако же для топологических колец, и в частности, коалгебр над полями — выходит, можно.

Пусть A — топологическое кольцо, в котором двусторонние идеалы образуют базу окрестностей нуля. Свободный левый A-контрамодуль, порожденный множеством X — это пространство A[X] формальных линейных комбинаций со сходящимися коэффициентами; структура контрамодуля на нем задается структурой монады на функторе X→A[X]. Будем обозначать свободный правый контрамодуль, порожденный множеством Y, через [Y]A; это та же самая группа с другой контрамодульной структурой. Функтор тензорного произведения A-контрамодулей определяется на свободных контрамодулях формулой [Y]A⊗_AA[X] = [Y]A[X], где символы в правой части означают группу A[X×Y] — обозначение, которое можно оправдать фактом естественного изоморфизма (A[X])[Y]≅A[X×Y], где на A[X] подразумевается равномерная топология, как на пространстве функций X→A. Произвольный аддитивный функтор на полной подкатегории свободных контрамодулей однозначно продолжается до точного справа функтора на абелевой категории контрамодулей, так что нужно только определить наш функтор на морфизмах свободных контрамодулей, а то мы пока что определили его только на объектах. Это делается так: определяется функтор тензорного произведения произвольного правого контрамодуля Q на свободный левый контрамодуль A[X] как композиция функтора контрамодульной прямой суммы X копий объекта Q с забывающим функтором из контрамодулей в абелевы группы; и аналогично для тензорных произведений свободного правого контрамодуля A[Y] на произвольный левый контрамодуль P. Осталось проверить, что у нас получился функтор двух аргументов на произведении полных подкатегорий свободных правых и левых контрамодулей, то есть что гомоморфизмы абелевых групп, индуцированные морфизмами свободных правых и левых контрамодулей, образуют коммутативные квадраты. Эта проверка сводится к построению отображения [[Y]A]A[A[X]] → [Y]A[X]. Аналогичным образом проверяется, что в случае коммутативности A на тензорном произведении A-контрамодулей есть структура A-контрамодуля.