![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЯ все же полагаю, что ни для коколец, ни для полуалгебр такую штуку определить нельзя; однако же для топологических колец, и в частности, коалгебр над полями — выходит, можно.
Пусть A — топологическое кольцо, в котором двусторонние идеалы образуют базу окрестностей нуля. Свободный левый A-контрамодуль, порожденный множеством X — это пространство A[X] формальных линейных комбинаций со сходящимися коэффициентами; структура контрамодуля на нем задается структурой монады на функторе X→A[X]. Будем обозначать свободный правый контрамодуль, порожденный множеством Y, через [Y]A; это та же самая группа с другой контрамодульной структурой. Функтор тензорного произведения A-контрамодулей определяется на свободных контрамодулях формулой [Y]A⊗AA[X] = [Y]A[X], где символы в правой части означают группу A[X×Y] — обозначение, которое можно оправдать фактом естественного изоморфизма (A[X])[Y]≅A[X×Y], где на A[X] подразумевается равномерная топология, как на пространстве функций X→A. Произвольный аддитивный функтор на полной подкатегории свободных контрамодулей однозначно продолжается до точного справа функтора на абелевой категории контрамодулей, так что нужно только определить наш функтор на морфизмах свободных контрамодулей, а то мы пока что определили его только на объектах. Это делается так: определяется функтор тензорного произведения произвольного правого контрамодуля Q на свободный левый контрамодуль A[X] как композиция функтора контрамодульной прямой суммы X копий объекта Q с забывающим функтором из контрамодулей в абелевы группы; и аналогично для тензорных произведений свободного правого контрамодуля A[Y] на произвольный левый контрамодуль P. Осталось проверить, что у нас получился функтор двух аргументов на произведении полных подкатегорий свободных правых и левых контрамодулей, то есть что гомоморфизмы абелевых групп, индуцированные морфизмами свободных правых и левых контрамодулей, образуют коммутативные квадраты. Эта проверка сводится к построению отображения [[Y]A]A[A[X]] → [Y]A[X]. Аналогичным образом проверяется, что в случае коммутативности A на тензорном произведении A-контрамодулей есть структура A-контрамодуля.
Пусть A — топологическое кольцо, в котором двусторонние идеалы образуют базу окрестностей нуля. Свободный левый A-контрамодуль, порожденный множеством X — это пространство A[X] формальных линейных комбинаций со сходящимися коэффициентами; структура контрамодуля на нем задается структурой монады на функторе X→A[X]. Будем обозначать свободный правый контрамодуль, порожденный множеством Y, через [Y]A; это та же самая группа с другой контрамодульной структурой. Функтор тензорного произведения A-контрамодулей определяется на свободных контрамодулях формулой [Y]A⊗AA[X] = [Y]A[X], где символы в правой части означают группу A[X×Y] — обозначение, которое можно оправдать фактом естественного изоморфизма (A[X])[Y]≅A[X×Y], где на A[X] подразумевается равномерная топология, как на пространстве функций X→A. Произвольный аддитивный функтор на полной подкатегории свободных контрамодулей однозначно продолжается до точного справа функтора на абелевой категории контрамодулей, так что нужно только определить наш функтор на морфизмах свободных контрамодулей, а то мы пока что определили его только на объектах. Это делается так: определяется функтор тензорного произведения произвольного правого контрамодуля Q на свободный левый контрамодуль A[X] как композиция функтора контрамодульной прямой суммы X копий объекта Q с забывающим функтором из контрамодулей в абелевы группы; и аналогично для тензорных произведений свободного правого контрамодуля A[Y] на произвольный левый контрамодуль P. Осталось проверить, что у нас получился функтор двух аргументов на произведении полных подкатегорий свободных правых и левых контрамодулей, то есть что гомоморфизмы абелевых групп, индуцированные морфизмами свободных правых и левых контрамодулей, образуют коммутативные квадраты. Эта проверка сводится к построению отображения [[Y]A]A[A[X]] → [Y]A[X]. Аналогичным образом проверяется, что в случае коммутативности A на тензорном произведении A-контрамодулей есть структура A-контрамодуля.
