![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение этого и этого. Вот предварительное определение контрамодуля над произвольным полным топологическим кольцом Ли. (Любимое Сашей предположение, что открытые подкольца Ли образуют базу окрестностей нуля странным образом не используется.) Я буду пользоваться обозначениями из постинга по первой ссылке выше. Структура контрамодуля над g состоит из множества P и отображения g[P]→P. Чтобы сформулировать тождество Якоби, обозначим через g2{P} множество всех формальных сумм формальных произведений ∑α xα⋅yα⋅pα, где xα,yα∈g, pα∈P, удовлетворяющих следующим условиям. Во-первых, для всякой открытой окрестности нуля U в g среди всех элементов xα, не принадлежащих U, только конечное число различных. Во-вторых, если сгруппировать все слагаемые с xα=x, то для всякой открытой окрестности нуля V в g найдется только конечное число таких слагаемых, для которых уα не принадлежит V. В-третьих и в-четвертых, выполнены аналогичные условия с переменой мест x-ов и у-ов. Теперь утверждается, что имеются три естественных отображения g2{P} → g[P], два из которых зависят от отображения контрадействия g[P]→P, а третье определяется коммутатором на g. Тождество Якоби требует, чтобы сумма этих трех отображений имела нулевую композицию с отображением g[P]→P.
Это мы дали такое странное определение неаддитивного контрамодуля; чтобы Р был контрамодулем в нормальном смысле слова, нужно дополнительно потребовать, чтобы на P была структура абелевой группы, такая чтобы отображение контрадействия g[P]→P было гомоморфизмом абелевых групп и отображение вычитания P×P→P было морфизмом неаддитивных контрамодулей.
В случае, когда g — полная топологическая алгебра Ли над полем k, в которой открытые k-векторные подпространства образуют базу окрестностей нуля, можно дать другое определение контрамодуля над g. А именно, контрамодуль P — это k-векторное пространство, снабженное k-линейным отображением g⊗^P→P (обозначение из постинга по ссылке), удовлетворяющим следующей форме тождества Якоби. Пусть g⊗*g обозначает тензорное произведение, пополненное по такой топологии, что билинейные непрерывные отображения из g×g биективно соответствуют линейным непрерывным отображениям из g⊗*g [Саша Б.]. Требуется, чтобы сумма трех отображений из (g⊗*g)⊗^P в g⊗^P имела нулевую композицию с отображением контрадействия g⊗^P→P. Из этих трех отображений, одно просто индуцировано отображением коммутатора g⊗*g→g, а два других определяются в терминах отображения контрадействия g⊗^P→P и естественного отображения (g⊗*g)⊗^P → g⊗^(g⊗^P). Чтобы построить последнее, можно заметить, что для любого открытого подпространства U⊂g пространство g/U⊗*g есть непополненное тензорное произведение g/U⊗g, снабженное топологией прямого предела по конечномерным подпространствам g/U и ⊗^-произведение коммутирует с топологическими прямыми пределами по первому аргументу.
Это мы дали такое странное определение неаддитивного контрамодуля; чтобы Р был контрамодулем в нормальном смысле слова, нужно дополнительно потребовать, чтобы на P была структура абелевой группы, такая чтобы отображение контрадействия g[P]→P было гомоморфизмом абелевых групп и отображение вычитания P×P→P было морфизмом неаддитивных контрамодулей.
В случае, когда g — полная топологическая алгебра Ли над полем k, в которой открытые k-векторные подпространства образуют базу окрестностей нуля, можно дать другое определение контрамодуля над g. А именно, контрамодуль P — это k-векторное пространство, снабженное k-линейным отображением g⊗^P→P (обозначение из постинга по ссылке), удовлетворяющим следующей форме тождества Якоби. Пусть g⊗*g обозначает тензорное произведение, пополненное по такой топологии, что билинейные непрерывные отображения из g×g биективно соответствуют линейным непрерывным отображениям из g⊗*g [Саша Б.]. Требуется, чтобы сумма трех отображений из (g⊗*g)⊗^P в g⊗^P имела нулевую композицию с отображением контрадействия g⊗^P→P. Из этих трех отображений, одно просто индуцировано отображением коммутатора g⊗*g→g, а два других определяются в терминах отображения контрадействия g⊗^P→P и естественного отображения (g⊗*g)⊗^P → g⊗^(g⊗^P). Чтобы построить последнее, можно заметить, что для любого открытого подпространства U⊂g пространство g/U⊗*g есть непополненное тензорное произведение g/U⊗g, снабженное топологией прямого предела по конечномерным подпространствам g/U и ⊗^-произведение коммутирует с топологическими прямыми пределами по первому аргументу.
