Относительная теорема PBW - начало

Вот как можно распространить это гомологическое доказательство теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта на случай неоднородных квадратичных алгебр над базовым некоммутативным кольцом или коалгеброй. Будем рассматривать модельный пример обертывающих алгебр алгеброидов Ли над коммутативными кольцами. Частным случаем такой обертывающей алгебры является кольцо дифференциальных операторов на гладком аффинном многообразии — понимаемое как кольцо, порожденное функциями и векторными полями (в случае конечной характеристики это, кажется, называется кристаллическими дифференциальными операторами). Можно рассмотреть чуть более общую ситуацию, включив случай дифференциальных операторов в линейном расслоении; если выбрать в расслоении связность, то кольцо дифференциальных операторов в нем представится как такая модифицированная обертывающая алгебра алгеброида Ли векторных полей, в которой к соотношениям коммутации добавлено слагаемое, связанное с кривизной: v₁v₂−v₂v₁ = [v₁,v₂] + θ(v₁,v₂). Для алгеброида Ли g над кольцом R это означает, что задана 2-форма θ: Λ²g→R, удовлетворяющая некоторому уравнению коцикла. ( Read more... )

Относительная теорема PBW - окончание

Начало здесь — http://posic.livejournal.com/205823.html

Прежде чем перейти к гомологической конструкции обертывающей алгебры алгеброида Ли, дадим еще одно описание дифференциальной коалгебры (Λg)^~. ( Read more... )

Напоследок заметим, что в этом рассуждении мы, по существу, вычисляли когомологии T сначала вдоль первого дифференциала, потом вдоль второго, а потом вдоль третьего (этого делать уже не пришлось; в ответе получилась симметрическая алгебра). Можно подойти иначе и вычислить сначала когомологии вдоль суммы первого и третьего дифференциалов. То, что получится в результате, будет аналогом кобар-комплекса A_* из этого рассуждения, хотя это будет уже не биградуированное, а просто градуированное пространство (сосредоточенное в градуировке i=0 и градуированное градуировкой j+k). Kогомологии этого комплекса вдоль единственного оставшегося дифференциала будут обертывающей алгеброй U_θg.