Относительная теорема PBW - начало
Jun. 12th, 2007 01:36 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicВот как можно распространить это гомологическое доказательство теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта на случай неоднородных квадратичных алгебр над базовым некоммутативным кольцом или коалгеброй. Будем рассматривать модельный пример обертывающих алгебр алгеброидов Ли над коммутативными кольцами. Частным случаем такой обертывающей алгебры является кольцо дифференциальных операторов на гладком аффинном многообразии — понимаемое как кольцо, порожденное функциями и векторными полями (в случае конечной характеристики это, кажется, называется кристаллическими дифференциальными операторами). Можно рассмотреть чуть более общую ситуацию, включив случай дифференциальных операторов в линейном расслоении; если выбрать в расслоении связность, то кольцо дифференциальных операторов в нем представится как такая модифицированная обертывающая алгебра алгеброида Ли векторных полей, в которой к соотношениям коммутации добавлено слагаемое, связанное с кривизной: v1v2−v2v1 = [v1,v2] + θ(v1,v2). Для алгеброида Ли g над кольцом R это означает, что задана 2-форма θ: Λ2g→R, удовлетворяющая некоторому уравнению коцикла.
Согласно имеющемуся рецепту в ситуации алгебры Ли (когда R — поле), нам нужно первым делом рассмотреть DG-коалгебру, являющуюся аналогом стандартного гомологического комплекса алгебры Ли g — внешней коалгебры Λg с дифференциалом, индуцированным скобкой на g — для случая алгеброида Ли. Тут мы немедленно упираемся в ту проблему, что такой DG-коалгебры не существует. Нет никакого естественного дифференциала на коалгебре поливекторных полей на многообразии. Дифференциал есть только на двойственном объекте — алгебре дифференциальных форм на многообразии или алгебре кососимметричных полилинейных форм HomR(Λg,R) на алгеброиде Ли. На коалгебру Λg над кольцом R этот дифференциал не переносится, потому что он не является R-линейным. Присмотримся сначала повнимательнее к DG-алгебре внешних форм. В чуть более общей ситуации у нас был еще задан элемент θ∈HomR(Λ2g,R) — частью какой структуры он является? Можно рассмотреть еще чуть более общую ситуацию дифференциальных операторов в векторном расслоении E произвольной размерности на аффинном многообразии M. Если на E задана связность, на алгебре дифференциальных форм на M с коэффициентами в расслоении эндоморфизмов E появляется дифференциал d, согласованный, как положено, с умножением, но имеющий ненулевой квадрат. Точнее, квадрат этого дифференциала равен коммутатору с элементом кривизны θ∈&Lambda2(M,End(E)); при этом элемент dθ равен нулю.
Эта структура — градуированное кольцо B, снабженное дифференцированием d степени 1 и элементом θ градуировки 2, таким что d2(x)=[θ,x] и d(θ)=0 — называется CDG-кольцом. Мы связали с алгеброидом Ли g, снабженным коциклом θ, CDG-кольцо HomR(Λg,R) (где d2=0 все-таки, поскольку кольцо суперкоммутативно, но элемент кривизны может быть нетривиален). Однако, нас интересует не столько это кольцо, сколько двойственная R-коалгебра Λg — какая структура на ней имеется? Чтобы ответить на этот вопрос, надо перейти от CDG-кольца B с подкольцом R в нулевой компоненте градуировки и с не-R-линейным дифференциалом к какому-нибудь R-линейному объекту; тогда такой объект можно будет обратно дуализировать. Делается это так: для любого CDG-кольца В, рассмотрим кольцо B[δ], порожденное кольцом B и дополнительным элементом δ с соотношениями [δ,x]=d(x) (суперкоммутатор) и δ2=θ. Какая структура есть на кольце B[δ]? Это новый дифференциал ∂=∂/∂δ, заданный на образующих правилами ∂(x)=0 для x∈B и ∂(δ)=1. Этот дифференциал имеет нулевой квадрат и ацикличен — умножение слева или справа на δ является для него стягивающей гомотопией. Утверждается, что отображение B→B[δ] является в точности изоморфизмом между B и ядром ∂.
Чего мы добились? Еще толком не начав решать одну задачу о вычислении алгебры с образующими и соотношениями (обертывающей алгеброида Ли g), мы пришли к другой аналогичной (про кольцо B[δ]). На самом деле, вторая задача совсем простая — можно определить элементы B[δ] как формальные выражения вида xδ+y и проверить, что их умножение ассоциативно. Теперь для любого алгеброида Ли g с коциклом θ у нас есть кольцо HomR(Λg,R)[δ] с ацикличным R-линейным дифференциалом ∂ степени -1. Двойственным объектом является некая R-коалгебра (Λg)~ с ацикличным кодифференцированием ∂ степени 1, таким что факторкоалгебра (Λg)~/im∂ отождествляется с коалгеброй Λg. Чтобы избежать сомнительной двойной дуализации, коалгебру (Λg)~ с дифференциалом ∂ лучше всего было бы построить непосредственно, исходя из алгеброида Ли g над R с коциклом θ. Ясно, что это можно сделать.
Окончание следует.
Согласно имеющемуся рецепту в ситуации алгебры Ли (когда R — поле), нам нужно первым делом рассмотреть DG-коалгебру, являющуюся аналогом стандартного гомологического комплекса алгебры Ли g — внешней коалгебры Λg с дифференциалом, индуцированным скобкой на g — для случая алгеброида Ли. Тут мы немедленно упираемся в ту проблему, что такой DG-коалгебры не существует. Нет никакого естественного дифференциала на коалгебре поливекторных полей на многообразии. Дифференциал есть только на двойственном объекте — алгебре дифференциальных форм на многообразии или алгебре кососимметричных полилинейных форм HomR(Λg,R) на алгеброиде Ли. На коалгебру Λg над кольцом R этот дифференциал не переносится, потому что он не является R-линейным. Присмотримся сначала повнимательнее к DG-алгебре внешних форм. В чуть более общей ситуации у нас был еще задан элемент θ∈HomR(Λ2g,R) — частью какой структуры он является? Можно рассмотреть еще чуть более общую ситуацию дифференциальных операторов в векторном расслоении E произвольной размерности на аффинном многообразии M. Если на E задана связность, на алгебре дифференциальных форм на M с коэффициентами в расслоении эндоморфизмов E появляется дифференциал d, согласованный, как положено, с умножением, но имеющий ненулевой квадрат. Точнее, квадрат этого дифференциала равен коммутатору с элементом кривизны θ∈&Lambda2(M,End(E)); при этом элемент dθ равен нулю.
Эта структура — градуированное кольцо B, снабженное дифференцированием d степени 1 и элементом θ градуировки 2, таким что d2(x)=[θ,x] и d(θ)=0 — называется CDG-кольцом. Мы связали с алгеброидом Ли g, снабженным коциклом θ, CDG-кольцо HomR(Λg,R) (где d2=0 все-таки, поскольку кольцо суперкоммутативно, но элемент кривизны может быть нетривиален). Однако, нас интересует не столько это кольцо, сколько двойственная R-коалгебра Λg — какая структура на ней имеется? Чтобы ответить на этот вопрос, надо перейти от CDG-кольца B с подкольцом R в нулевой компоненте градуировки и с не-R-линейным дифференциалом к какому-нибудь R-линейному объекту; тогда такой объект можно будет обратно дуализировать. Делается это так: для любого CDG-кольца В, рассмотрим кольцо B[δ], порожденное кольцом B и дополнительным элементом δ с соотношениями [δ,x]=d(x) (суперкоммутатор) и δ2=θ. Какая структура есть на кольце B[δ]? Это новый дифференциал ∂=∂/∂δ, заданный на образующих правилами ∂(x)=0 для x∈B и ∂(δ)=1. Этот дифференциал имеет нулевой квадрат и ацикличен — умножение слева или справа на δ является для него стягивающей гомотопией. Утверждается, что отображение B→B[δ] является в точности изоморфизмом между B и ядром ∂.
Чего мы добились? Еще толком не начав решать одну задачу о вычислении алгебры с образующими и соотношениями (обертывающей алгеброида Ли g), мы пришли к другой аналогичной (про кольцо B[δ]). На самом деле, вторая задача совсем простая — можно определить элементы B[δ] как формальные выражения вида xδ+y и проверить, что их умножение ассоциативно. Теперь для любого алгеброида Ли g с коциклом θ у нас есть кольцо HomR(Λg,R)[δ] с ацикличным R-линейным дифференциалом ∂ степени -1. Двойственным объектом является некая R-коалгебра (Λg)~ с ацикличным кодифференцированием ∂ степени 1, таким что факторкоалгебра (Λg)~/im∂ отождествляется с коалгеброй Λg. Чтобы избежать сомнительной двойной дуализации, коалгебру (Λg)~ с дифференциалом ∂ лучше всего было бы построить непосредственно, исходя из алгеброида Ли g над R с коциклом θ. Ясно, что это можно сделать.
Окончание следует.
