Относительная теорема PBW - окончание
Jun. 12th, 2007 11:58 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНачало здесь — http://posic.livejournal.com/205823.html
Прежде чем перейти к гомологической конструкции обертывающей алгебры алгеброида Ли, дадим еще одно описание дифференциальной коалгебры (Λg)~. Градуированное кольцо HomR(Λg,R)[δ] порождается своей компонентой градуировки 1 с соотношениями градуировки 2 над базовым кольцом R в градуировке 0 — это такое квадратичное кольцо. Двойственная коалгебра (Λg)~ над кольцом R тоже квадратична, так что она однозначно определяется своими компонентами градуировки 1 и 2 и отображением коумножения (Λg)~2 → (Λg)~1 ⊗R (Λg)~1. Что же такое эти компоненты? R-R-бимодуль (Λg)~1 изоморфен прямой сумме R⊕g с той структурой R-R-бимодуля, которая должна быть на ней как на первой компоненте фильтрации обертывающей алгебры Uθg. Бимодуль (Λg)~2 — это бимодуль квадратичных соотношений в обертывающей алгебре алгеброида Ли, то есть попросту то пространтство, которое согласно теореме Пуанкаре-Биркгофа-Витта должно быть ядром отображения умножения F1Uθg ⊗R F1Uθg → F2Uθg (что эти компоненты фильтрации на самом деле таковы, какими мы их ожидаем, нам еще предстоит доказать). Дифференциал ∂0: R→(Λg)~1 соответствует вложению нулевой компоненты фильтрации Uθg в первую компоненту; дифференциал ∂1 соответствует вложению подпространства тривиальных соотношений вида u⋅1=1⋅u. В дальнейшем рассуждении существенно будет то, что факторкоалгебра (Λg)~/im∂ отождествляется с Λg, то есть естественное отображение (Λg)~→Λg сюръективно; именно для того, чтобы установить этот факт, нам нужно было предшествующее описание (Λg)~ как двойственной коалгебры к кольцу HomR(Λg,R)[δ].
Рассмотрим биградуированную коалгебру над кольцом R с компонентами Cij = (Λg)~i-j если i≤0 и j≤0 и Cij = 0 в остальных случаях. Определим на коалгебре C дифференциал, отображающий компоненту Cij в Ci+1,j посредством ∂i-j. Имеется квазиизоморфизм DG-коалгебр C→Λg, где коалгебра Λg размещена в градуировках i=0 и j≤0. Рассмотрим тензорную алгебру R-R-бимодуля ker(C->C00); на ней есть три градуировки — две индуцированные градуировками i,j на C и одна, в которой все бимодули Cij имеют градуировку 1 — будем обозначать эту градуировку через k. Далее, на этой тензорной алгебре T есть два дифференциала — один индуцированный дифференциалом на C и другой, индуцированный коумножением на C. Они имеют тристепени, соответственно, (1,0,0) и (0,0,1) по (i,j,k). Нас будет интересовать еще один дифференциал на кольце T, индуцированный тождественным отображением единственной компоненты С-1,-1=R коалгебры С в подкольцо R в Т; на всех остальных компонентах C этот дифференциал зануляется. Он имеет тристепень (1,1,-1). Легко проверить, что все три дифференциала равны в квадрате нулю; первые два из них коммутируют, в то время как обе композиции третьего с каждым из первых двух зануляются.
Рассмотрим тотальное DG-кольцо триградуированного кольца T. Оно сосредоточено в неположительных степенях; можно проверить непосредственно, что его нулевые когомологии изоморфны Uθg. На DG-кольце T есть возрастающая фильтрация F, подпространство FsT которой равно сумме триградуировочных компонент Tijk по всем -j≤s. Присоединенное DG-кольцо T по этой фильтрации изоморфно кольцу T с суммой первых двух дифференциалов на нем; третий дифференциал убивается фильтрацией. DG-кольцо grFT — это просто кобар-конструкция DG-коалгебры C над кольцом R, снабженной дополнительной отрицательной градуировкой j, которую сохраняет дифференциал; это бикомплекс, градуированный конечными бикомплексами. Поэтому DG-алгебра grFT квазиизоморфна кобар-конструкции коалгебры Λg (здесь используется предположение, что алгеброид Ли g, а вместе с ним Λg и (Λg)~ являются плоскими R-модулями). Когомологии grFT, соответственно, есть симметрическая алгебра R-модуля g. Эти когомологии сосредоточены в триградуировках (0,-k,k) и в тотальной градуировке 0, так что спектральная последовательность фильтрации F вырождается в члене E1 и присоединенный фактор Uθg есть симметрическая алгебра. Теорема PBW для алгеброидов Ли доказана.
Напоследок заметим, что в этом рассуждении мы, по существу, вычисляли когомологии T сначала вдоль первого дифференциала, потом вдоль второго, а потом вдоль третьего (этого делать уже не пришлось; в ответе получилась симметрическая алгебра). Можно подойти иначе и вычислить сначала когомологии вдоль суммы первого и третьего дифференциалов. То, что получится в результате, будет аналогом кобар-комплекса A_* из этого рассуждения, хотя это будет уже не биградуированное, а просто градуированное пространство (сосредоточенное в градуировке i=0 и градуированное градуировкой j+k). Kогомологии этого комплекса вдоль единственного оставшегося дифференциала будут обертывающей алгеброй Uθg.
Прежде чем перейти к гомологической конструкции обертывающей алгебры алгеброида Ли, дадим еще одно описание дифференциальной коалгебры (Λg)~. Градуированное кольцо HomR(Λg,R)[δ] порождается своей компонентой градуировки 1 с соотношениями градуировки 2 над базовым кольцом R в градуировке 0 — это такое квадратичное кольцо. Двойственная коалгебра (Λg)~ над кольцом R тоже квадратична, так что она однозначно определяется своими компонентами градуировки 1 и 2 и отображением коумножения (Λg)~2 → (Λg)~1 ⊗R (Λg)~1. Что же такое эти компоненты? R-R-бимодуль (Λg)~1 изоморфен прямой сумме R⊕g с той структурой R-R-бимодуля, которая должна быть на ней как на первой компоненте фильтрации обертывающей алгебры Uθg. Бимодуль (Λg)~2 — это бимодуль квадратичных соотношений в обертывающей алгебре алгеброида Ли, то есть попросту то пространтство, которое согласно теореме Пуанкаре-Биркгофа-Витта должно быть ядром отображения умножения F1Uθg ⊗R F1Uθg → F2Uθg (что эти компоненты фильтрации на самом деле таковы, какими мы их ожидаем, нам еще предстоит доказать). Дифференциал ∂0: R→(Λg)~1 соответствует вложению нулевой компоненты фильтрации Uθg в первую компоненту; дифференциал ∂1 соответствует вложению подпространства тривиальных соотношений вида u⋅1=1⋅u. В дальнейшем рассуждении существенно будет то, что факторкоалгебра (Λg)~/im∂ отождествляется с Λg, то есть естественное отображение (Λg)~→Λg сюръективно; именно для того, чтобы установить этот факт, нам нужно было предшествующее описание (Λg)~ как двойственной коалгебры к кольцу HomR(Λg,R)[δ].
Рассмотрим биградуированную коалгебру над кольцом R с компонентами Cij = (Λg)~i-j если i≤0 и j≤0 и Cij = 0 в остальных случаях. Определим на коалгебре C дифференциал, отображающий компоненту Cij в Ci+1,j посредством ∂i-j. Имеется квазиизоморфизм DG-коалгебр C→Λg, где коалгебра Λg размещена в градуировках i=0 и j≤0. Рассмотрим тензорную алгебру R-R-бимодуля ker(C->C00); на ней есть три градуировки — две индуцированные градуировками i,j на C и одна, в которой все бимодули Cij имеют градуировку 1 — будем обозначать эту градуировку через k. Далее, на этой тензорной алгебре T есть два дифференциала — один индуцированный дифференциалом на C и другой, индуцированный коумножением на C. Они имеют тристепени, соответственно, (1,0,0) и (0,0,1) по (i,j,k). Нас будет интересовать еще один дифференциал на кольце T, индуцированный тождественным отображением единственной компоненты С-1,-1=R коалгебры С в подкольцо R в Т; на всех остальных компонентах C этот дифференциал зануляется. Он имеет тристепень (1,1,-1). Легко проверить, что все три дифференциала равны в квадрате нулю; первые два из них коммутируют, в то время как обе композиции третьего с каждым из первых двух зануляются.
Рассмотрим тотальное DG-кольцо триградуированного кольца T. Оно сосредоточено в неположительных степенях; можно проверить непосредственно, что его нулевые когомологии изоморфны Uθg. На DG-кольце T есть возрастающая фильтрация F, подпространство FsT которой равно сумме триградуировочных компонент Tijk по всем -j≤s. Присоединенное DG-кольцо T по этой фильтрации изоморфно кольцу T с суммой первых двух дифференциалов на нем; третий дифференциал убивается фильтрацией. DG-кольцо grFT — это просто кобар-конструкция DG-коалгебры C над кольцом R, снабженной дополнительной отрицательной градуировкой j, которую сохраняет дифференциал; это бикомплекс, градуированный конечными бикомплексами. Поэтому DG-алгебра grFT квазиизоморфна кобар-конструкции коалгебры Λg (здесь используется предположение, что алгеброид Ли g, а вместе с ним Λg и (Λg)~ являются плоскими R-модулями). Когомологии grFT, соответственно, есть симметрическая алгебра R-модуля g. Эти когомологии сосредоточены в триградуировках (0,-k,k) и в тотальной градуировке 0, так что спектральная последовательность фильтрации F вырождается в члене E1 и присоединенный фактор Uθg есть симметрическая алгебра. Теорема PBW для алгеброидов Ли доказана.
Напоследок заметим, что в этом рассуждении мы, по существу, вычисляли когомологии T сначала вдоль первого дифференциала, потом вдоль второго, а потом вдоль третьего (этого делать уже не пришлось; в ответе получилась симметрическая алгебра). Можно подойти иначе и вычислить сначала когомологии вдоль суммы первого и третьего дифференциалов. То, что получится в результате, будет аналогом кобар-комплекса A_* из этого рассуждения, хотя это будет уже не биградуированное, а просто градуированное пространство (сосредоточенное в градуировке i=0 и градуированное градуировкой j+k). Kогомологии этого комплекса вдоль единственного оставшегося дифференциала будут обертывающей алгеброй Uθg.
