Vanity search
Jun. 16th, 2007 01:51 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posichttp://www.google.com/search?q=CDG-algebra+OR+CDG-algebras&num=100&filter=0 (там примерно половина не про то, а половина про то, и много повторений кроме того). А можно еще так искать.
posicposic
Profile
Leonid Positselski
Page Summary
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
Style Credit
- Style: Neutral Good for Practicality by timeasmymeasure
Expand Cut Tags
No cut tags
no subject
Date: 2007-06-17 05:48 am (UTC)А насколько различны эти два варианта? На каком-нибудь простом примере, пожалуйста.
no subject
Date: 2007-06-17 08:34 am (UTC)Вторая производная категория побольше, чем первая. Для CDG-модулей определена только вторая производная категория.
Пример такой. Рассмотрим конечномерную редуктивную алгебру Ли g. Рассмотрим ее стандартный когомологический комплекс, т.е. внешнюю алгебру двойственного к g векторного пространства Λg* с дифференциалом, индуцированным скобкой Ли на g. Тогда всякому g-модулю M соответствует DG-модуль над Λg*, которым является стандартный когомологический комплекс g с коэффициентами в M - тензорное произведение Λg* на M с дифференциалом, связанным с действием g на M. Пусть теперь M - нетривиальный неприводимый g-модуль. Тогда стандартный комплекс g с коэффициентами в M имеет нулевые когомологии. В то же время, он не стягиваем как DG-модуль, и, если не смотреть на дифференциал, является свободным модулем над алгеброй Λg*. С точки зрения первой производной категории, этот DG-модуль вовсе не проективный, а представляет он нулевой объект. С точки зрения второй производной категории, этот DG-модуль проективный и объект совершенно ненулевой. Вторая производная категория DG-алгебры Λg* эквивалентна производной категории g-модулей, а первая зависит только от когомологий алгебры Ли g.
Разница ощутима уже в том случае, когда алгебра Ли g абелева, а &Lamgda;g* - просто внешняя алгебра с нулевым дифференциалом. Тогда вторая производная категория эквивалентна производной категории модулей над кольцом многочленов, а первая - грубо приблизительно, близка к производной категории модулей над локализацией кольца многочленов в нуле. Точнее, в первой производной категории объявлены нулевыми те комплексы модулей над кольцом многочленов, у которых комплекс слоев в нуле ацикличен.
no subject
Date: 2007-06-17 09:51 pm (UTC)no subject
Date: 2007-06-17 10:58 pm (UTC)2. Во втором варианте определение существенно более тонкое и имеет несколько разновидностей: насколько я это понимаю, нужно либо накладывать на CDG-алгебру какие-то условия конечности, либо говорить о CDG-коалгебрах.
Простейшее условие конечности, которое можно наложить - это чтобы гомологическая размерность underlying градуированной алгебры была конечной. В этом случае подходит такое определение: назовем морфизм CDG-модулей сильным квазиизоморфизмом, если его конус является сильно ацикличным CDG-модулем. CDG-модуль назовем сильно ацикличным, если он гомотопически эквивалентен CDG-модулю, который можно получить из тотальных CDG-модулей точных троек CDG-модулей с помощью итерированных операций конуса и сдвига. Точная тройка CDG-модулей - это просто последовательность из трех CDG-модулей и CDG-модульных (замкнутых) морфизмов между ними, которая является точной тройкой underlying градуированных модулей. Тотальный CDG-модуль комплекса CDG-модулей определяется аналогично тотальному комплексу бикомплекса; это такой итерированный конус.
Если говорить о коалгебрах, то над ними бывают модули двух типов - (общеизвестные) комодули и (незаслуженно забытые) контрамодули. (Например, если C - такая коалгебра, что двойственная к ней полная алгебра C* есть алгебра формальных степенных рядов от одной переменной k[[z]], то k[[z]]-модуль хвостов рядов Лорана k((z))/k[[z]] является косвободным комодулем над C, а модуль рядов Тейлора k[[z]] является свободным контрамодулем над C.) Для CDG-комодулей следует рассмотреть такое определение: морфизм CDG-комодулей называется коквазиизоморфизмом, если его конус коацикличен. CDG-комодуль называется коацикличным, если он гомотопически эквивалентен CDG-комодулю, который можно получить из тотальных CDG-комодулей точных троек CDG-комодулей, итерируя операции конуса, сдвига и бесконечной прямой суммы. Для CDG-контрамодулей это будут контраквазиизоморфизмы и контраацикличные CDG-контрамодули, которые определяются так же с заменой бесконечных прямых сумм на бесконечные прямые произведения.
Другое условие конечности, которое можно наложить на CDG-алгебру A - это чтобы она была конечномерна. В этом случае двойственное пространство A* является CDG-коалгеброй, причем CDG-комодули над A* это то же самое, что CDG-контрамодули над A* и то же самое, что CDG-модули над A. Соответственно, можно на выбор рассматривать копроизводную или контрапроизводную категорию СDG-модулей над A (факторкатегорию по подкатегории коацикличных или контраацикличных CDG-модулей, как определено выше - полученной замыканием относительно прямых сумм или прямых произведений). Для любой CDG-коалгебры копроизводная категория CDG-комодулей и контрапроизводная категория CDG-контрамодулей естественным образом эквивалентны, так что разницы нет.
no subject
Date: 2007-06-19 11:49 pm (UTC)После этого хотелось бы доказать теоремы о том, что производная категория CDG-модулей эквивалентна категории CDG-модулей, которые являются проективными или инъективными градуированными модулями, если не смотреть на дифференциалы (а морфизмами будут просто морфизмы CDG-модулей с точностью до гомотопии). Для того, чтобы доказывать такие вещи, приходится либо накладывать условия конечности на CDG-кольцо, либо рассматривать CDG-коалгебры, во-первых. И бывает удобно замкнуть подкатегорию, по которой мы локализуем, относительно бесконечных прямых сумм или бесконечных произведений, во-вторых.
После этого можно доказывать, например, кошулеву двойственность (эквивалентность производной категории первого рода от DG-алгебры и производной категории второго рода от бар-двойственной к ней конильпотентной (C)DG-коалгебры; производной категории модулей над кольцом дифференциальных операторов в расслоении и копроизводной категории CDG-модулей над CDG-алгеброй де Рама этого расслоения; и так далее). Про это есть текст Келлера, основанный на диссертации Лефевра (которому принадлежит термин "копроизводная категория") - см. http://www.math.jussieu.fr/~keller/publ/index.html#Talks (хотя правильного определения там не дается, с моей точки зрения).
1. Про производные категории первого рода есть старая статья Келлера "Deriving DG-categories". Там требуется другое, более сложное и более сильное, условие проективности (инъективности, плоскости и т.д.) DG-модуля.