Vanity search

[posic]

http://www.google.com/search?q=CDG-algebra+OR+CDG-algebras&num=100&filter=0 (там примерно половина не про то, а половина про то, и много повторений кроме того). А можно еще так искать.

Comments

[leblon.livejournal.com]

Тогда я не понял, как определяются квазиизоморфизмы в этих двух случаях. Т.е. допустим мы берем любые DG-модули. По кому надо локализовать в первом и во втором случае? Я думал, надо обращать то, что индуцирует изоморфизм на когомологиях...

[posic.livejournal.com]

1. В первом варианте квазиизоморфизм DG-модулей - это морфизм, индуцирующий изоморфизм на когомологиях. Это понятие квазиизоморфизма нельзя продолжить на CDG-модули над CDG-алгебрами, поскольку (i) у CDG-модуля нет когомологий и (ii) при CDG-эквивалентности между DG-алгебрами ("замене одной плоской связности на другую", т.е., d'(x) = d(a)+[α,x] на алгебре и d'(m)=d(m)+αm на модулях в предположении d(α)+α²=0) квазиизоморфизмы DG-модулей перестают быть квазиизоморфизмами.

2. Во втором варианте определение существенно более тонкое и имеет несколько разновидностей: насколько я это понимаю, нужно либо накладывать на CDG-алгебру какие-то условия конечности, либо говорить о CDG-коалгебрах.

Простейшее условие конечности, которое можно наложить - это чтобы гомологическая размерность underlying градуированной алгебры была конечной. В этом случае подходит такое определение: назовем морфизм CDG-модулей сильным квазиизоморфизмом, если его конус является сильно ацикличным CDG-модулем. CDG-модуль назовем сильно ацикличным, если он гомотопически эквивалентен CDG-модулю, который можно получить из тотальных CDG-модулей точных троек CDG-модулей с помощью итерированных операций конуса и сдвига. Точная тройка CDG-модулей - это просто последовательность из трех CDG-модулей и CDG-модульных (замкнутых) морфизмов между ними, которая является точной тройкой underlying градуированных модулей. Тотальный CDG-модуль комплекса CDG-модулей определяется аналогично тотальному комплексу бикомплекса; это такой итерированный конус.

Если говорить о коалгебрах, то над ними бывают модули двух типов - (общеизвестные) комодули и (незаслуженно забытые) контрамодули. (Например, если C - такая коалгебра, что двойственная к ней полная алгебра C* есть алгебра формальных степенных рядов от одной переменной k[[z]], то k[[z]]-модуль хвостов рядов Лорана k((z))/k[[z]] является косвободным комодулем над C, а модуль рядов Тейлора k[[z]] является свободным контрамодулем над C.) Для CDG-комодулей следует рассмотреть такое определение: морфизм CDG-комодулей называется коквазиизоморфизмом, если его конус коацикличен. CDG-комодуль называется коацикличным, если он гомотопически эквивалентен CDG-комодулю, который можно получить из тотальных CDG-комодулей точных троек CDG-комодулей, итерируя операции конуса, сдвига и бесконечной прямой суммы. Для CDG-контрамодулей это будут контраквазиизоморфизмы и контраацикличные CDG-контрамодули, которые определяются так же с заменой бесконечных прямых сумм на бесконечные прямые произведения.

Другое условие конечности, которое можно наложить на CDG-алгебру A - это чтобы она была конечномерна. В этом случае двойственное пространство A* является CDG-коалгеброй, причем CDG-комодули над A* это то же самое, что CDG-контрамодули над A* и то же самое, что CDG-модули над A. Соответственно, можно на выбор рассматривать копроизводную или контрапроизводную категорию СDG-модулей над A (факторкатегорию по подкатегории коацикличных или контраацикличных CDG-модулей, как определено выше - полученной замыканием относительно прямых сумм или прямых произведений). Для любой CDG-коалгебры копроизводная категория CDG-комодулей и контрапроизводная категория CDG-контрамодулей естественным образом эквивалентны, так что разницы нет.

[posic.livejournal.com]

2. Короче, если попросту, идея такая. Мы не знаем, что такое когомологии CDG-модуля и, видимо, их не бывает вообще. Но мы знаем, что такое точная тройка CDG-модулей. Хотелось бы, чтобы в производной категории CDG-модулей точной тройке CDG-модулей соответствовал выделенный треугольник. Для этого нужно объявить в производной категории нулевыми объектами тотальные CDG-модули точных троек CDG-модулей - а вместе с ними и все CDG-модули, которые можно из них получить с помощью операций конуса и сдвига.

После этого хотелось бы доказать теоремы о том, что производная категория CDG-модулей эквивалентна категории CDG-модулей, которые являются проективными или инъективными градуированными модулями, если не смотреть на дифференциалы (а морфизмами будут просто морфизмы CDG-модулей с точностью до гомотопии). Для того, чтобы доказывать такие вещи, приходится либо накладывать условия конечности на CDG-кольцо, либо рассматривать CDG-коалгебры, во-первых. И бывает удобно замкнуть подкатегорию, по которой мы локализуем, относительно бесконечных прямых сумм или бесконечных произведений, во-вторых.

После этого можно доказывать, например, кошулеву двойственность (эквивалентность производной категории первого рода от DG-алгебры и производной категории второго рода от бар-двойственной к ней конильпотентной (C)DG-коалгебры; производной категории модулей над кольцом дифференциальных операторов в расслоении и копроизводной категории CDG-модулей над CDG-алгеброй де Рама этого расслоения; и так далее). Про это есть текст Келлера, основанный на диссертации Лефевра (которому принадлежит термин "копроизводная категория") - см. http://www.math.jussieu.fr/~keller/publ/index.html#Talks (хотя правильного определения там не дается, с моей точки зрения).

1. Про производные категории первого рода есть старая статья Келлера "Deriving DG-categories". Там требуется другое, более сложное и более сильное, условие проективности (инъективности, плоскости и т.д.) DG-модуля.