По итогам разговора

[posic]

Вслед за алгебраизацией анализа грядет функанализация алгебры. Мы будем, конечно, отбиваться из всех сил, но раньше или позже придется рассматривать векторные пространства, кольца и модули с достаточно нетривиальными топологиями. Пусть даже и такими, которые согласованы только с дискретной топологией основного поля -- сути дела это, кажется, не меняет.

Comments

[roma.livejournal.com]

Drinfeld (i izhe s nim) ljubit pominat' funk. an. v nemnogo drugom kontekste, a imenno -- kategorizacii. Tipa, na prostranstve est' funkcii, a dal'she est' funk. an. detali kakie imenno prostranstva funkcij, kakoe iz nih kakomu dvojstvenno, kak ustanovit' svojstva funktorial'nosti i t.p. Tak zhe i na sheme (steke, ind-steke) mozhno brat' (kvazi)kogoerentye puchki,
ili kogerentyne puchki, ili sovershennye kompleksy i t.p.

[chaource.livejournal.com]

М-да... Есть ли какой-нибудь примѣръ, понятный физику, какого-нибудь кольца с нетривиальной топологіей? Или это всё "слишкомъ безконечномѣрно" для пониманія?

[posic.livejournal.com]

Конечно, есть примеры. Попытаюсь изложить их понятно.

0. Тривиальный пример: топологическое поле комплексных чисел С.

1. Другой пример топологического поля. Рассмотрим поле формальных рядов Лорана с комплексными коэффициентами C((z)). Элементами этого поля являются формальные (т.е. без каких-либо условий сходимости) степенные ряды вида f(z) = a_-iz^-i + a_-i+1z^-i+1 + ... + a₀ + a₁z + ..., с конечным числом слагаемых с отрицательным показателем степени и бесконечным числом слагаемых с положительным показателем. Мы наделим поле C((z)) такой топологией, в которой его подполе С будет дискретным. А именно, последовательность рядов f_n сходится к ряду f, если разность f-f_n при больших n становится рядом Тейлора, обращающимся в точке z=0 в нуль все более высокого порядка. Поле C((z)) полно (хотя и не локально компактно) и вполне несвязно (как канторовское множество).

2. Пример некоммутативного топологического кольца. Рассмотрим определенное выше топологическое поле C((z)) как топологическое векторное пространство над (дискретным) полем комплексных чисел. Рассмотрим кольцо M непрерывных линейных операторов на C((z)). Его элементы можно представлять в виде бесконечных во все четыре стороны матриц (A_ij), имеющих только конечное число ненулевых компонент в любом параллельном переносе нижнего левого квадранта. Другими словами, для любых целых i и j имеется число A_ij, причем для любых целых m и n имеется только конечное число таких i < m и j > n, для которых A_ij не равно 0. Нетрудно убедиться, что при перемножении бесконечных матриц с таким свойством не возникает никакого бесконечного суммирования. На алгебре M имеется следующая топология: базу открытых окрестностей 0 образуют множества всех матриц (A_ij), таких что A_ij=0 для всех i < m и j > -n, где m и n -- некоторые (произвольные или достаточно большие) целые числа. Другими словами, последовательность матриц A(k) сходится к матрице A, если для любых m и n найдется такое k₀, что A_ij - A_ij(k) = 0 когда i < m, j > n, и k > k₀.

3. Пример коммутативного топологического кольца -- кольцо R регулярных функций на пространстве рядов Лорана С((z)). Элементами кольца R являются формальные степенные ряды F(a_i) от бесконечного числа переменных a_i, где i целое. Сами a_i понимаются как коэффициенты ряда Лорана f(z) = a_jz^j + a_j+1z^j+1 + ... Кольцо R состоит из всех степенных рядов F(a_i), удовлетворяющих следующему условию: для любого целого n, после подстановки в ряд F значений a_i=0 для всех i < n, ряд F превращается в многочлен. Топология на кольце R следующая: последовательность рядов F_k(a_i) сходится к ряду F(a_i), если для любого n существует такое k₀, что для всех k > k₀ ряд F(a_i) - F_k(a_i) обращается в нуль при подстановке значений a_i=0 для всех i < n.

Вот, такие примеры.

[posic.livejournal.com]

К п.3 -- пример элемента кольца R: ряд a₀ + a_-1 + a_-2 + ...

[siyuv.livejournal.com]

А в чем заключается алгебраизация анализа? Единственное что приходит на ум это К-теория для С*-алгебр.

[posic.livejournal.com]

Мне кажется, так называют перенос объектов и конструкций из анализа в алгебру. Например, теория систем линейных уравнений в частных производных превращается в теорию D-модулей. Или преобразование Фурье превратных пучков. Или теория смешанных структур Ходжа. Или из аналитической теории автоморфных представлений происходит геометрическая программа Ленглендса.

[posic.livejournal.com]

Это философия такая, да. Интересная.