Моя гипотеза опровергнута?

[posic]

В разделе 1 главы 7 книжки "Quadratic Algebras" сформулированы три гипотезы про ряды Гильберта кошулевых алгебр. В частности, гипотеза 2 утверждает, что если ряд Гильберта кошулевой алгебры A является многочленом степени d, то размерность компоненты A₁ не меньше d.

В свежей работе Июду и Шкарина http://preprints.ihes.fr/2016/M/M-16-16.pdf классифицированы ряды Гильберта квадратичных алгебр с 3 образующими и 3 соотношениями. В частности, рядов Гильберта кошулевых алгебр с размерностями компонент dim A₁ = dim A₂ = 3, не являющихся рядами Гильберта квадратичных мономиальных алгебр, имеются две штуки (см. там Theorem 1.1 и Proposition 4.2):

1 + 3t+ 3t² + 2t³ + t⁴ = (1+2t+t²+t³)(1+t)

и

1 + 3t+ 3t² + 2t³ + t⁴ + t⁵ + … = (1+2t−t³−t⁴)/(1−t).

Первый из этих двух рядов, реализующийся, как утверждают авторы, для кошулевой алгебры с соотношениями

x²−yx = xy = y² = yz = zx = z² = 0,

является контрпримером к моей гипотезе 2.

Comments

[posic.livejournal.com]

Дима, так не может быть, мне кажется. На уровне коэффициентов рядов Гильберта при третьей степени переменной t, соотношение между рядами алгебр A и A^! выполняется для любой квадратичной алгебры A. Условие кошулевости впервые появляется в градуировке 4.

[piont.livejournal.com]

Вы правы, конечно! У меня была опечатка в двойственной алгебре. На самом деле ряды Гильберта абсолютно соответствуют: соотношения двойственной алгебры z*y, x*z, x*x+ y*x; базис Гребнера порожденного ими идеала (для deglex z>y>x) --- они же и еще моном z*x^2; ряд Гильберта двойственной алгебры получается в точности A(-t)^(-1).

[piont.livejournal.com]

И последняя алгебра, действительно, представляется козюлевой: в ней правые идеалы (y), (z), (x,y), (x,y,z) образуют козюлеву фильтрацию. Если это верно, то, действительно, контрпример построен!