Моя гипотеза опровергнута?

[posic]

В разделе 1 главы 7 книжки "Quadratic Algebras" сформулированы три гипотезы про ряды Гильберта кошулевых алгебр. В частности, гипотеза 2 утверждает, что если ряд Гильберта кошулевой алгебры A является многочленом степени d, то размерность компоненты A₁ не меньше d.

В свежей работе Июду и Шкарина http://preprints.ihes.fr/2016/M/M-16-16.pdf классифицированы ряды Гильберта квадратичных алгебр с 3 образующими и 3 соотношениями. В частности, рядов Гильберта кошулевых алгебр с размерностями компонент dim A₁ = dim A₂ = 3, не являющихся рядами Гильберта квадратичных мономиальных алгебр, имеются две штуки (см. там Theorem 1.1 и Proposition 4.2):

1 + 3t+ 3t² + 2t³ + t⁴ = (1+2t+t²+t³)(1+t)

и

1 + 3t+ 3t² + 2t³ + t⁴ + t⁵ + … = (1+2t−t³−t⁴)/(1−t).

Первый из этих двух рядов, реализующийся, как утверждают авторы, для кошулевой алгебры с соотношениями

x²−yx = xy = y² = yz = zx = z² = 0,

является контрпримером к моей гипотезе 2.

Comments

[piont.livejournal.com]

Ряд Гильберта для первой алгебры у меня получился такой же, козюлевость пока не проверял.

[posic.livejournal.com]

А вы считаете руками или пользуетесь какой-то программой?

[piont.livejournal.com]

Лёня, вроде бы, эта алгебра все же не козюлева, поскольку не подходят ряды Гильберта -- если я правильно посчитал

Я считал базисы Гребнера на Магме (в калькуляторе на сайте) и ряды Гильберта вручную.

У алгебры A ряд Гильберта простой: A(t) = 1 + 3t+ 3t2 + 2t3 + t4 .
Поэтому у двойственной должен быть A^!(t) = A(-t)^(-1) = 1+3*t+6*t^2+11*t^3+20*t^4+ O(t^4) .
На самом деле, несовпадение уже в 3 члене, поскольку:
соотношения A^! суть z*y, x*z, x*x+ y*z;
базис Гребнера (при z>y>x) есть x^4, z*x^2, x^2*y, z*y, y*z + x^2, x*z;
нормальные слова длины 3 суть xyx, xy^2, x^3, y*{слова длины 2 от x и y}, zxy, z^2x,z^3 : всего их 10, а должно быть 11.

[posic.livejournal.com]

Дима, так не может быть, мне кажется. На уровне коэффициентов рядов Гильберта при третьей степени переменной t, соотношение между рядами алгебр A и A^! выполняется для любой квадратичной алгебры A. Условие кошулевости впервые появляется в градуировке 4.

[piont.livejournal.com]

Вы правы, конечно! У меня была опечатка в двойственной алгебре. На самом деле ряды Гильберта абсолютно соответствуют: соотношения двойственной алгебры z*y, x*z, x*x+ y*x; базис Гребнера порожденного ими идеала (для deglex z>y>x) --- они же и еще моном z*x^2; ряд Гильберта двойственной алгебры получается в точности A(-t)^(-1).

[piont.livejournal.com]

И последняя алгебра, действительно, представляется козюлевой: в ней правые идеалы (y), (z), (x,y), (x,y,z) образуют козюлеву фильтрацию. Если это верно, то, действительно, контрпример построен!

[shuffle81.livejournal.com]

Любопытно. Вроде и впрямь контрпример.

[posic.livejournal.com]

А ты видишь, почему эта алгебра кошулева?

[shuffle81.livejournal.com]

Кстати, я немного вчитался и немного перестал понимать вычисление, что у них сделано. В середине страницы 12 они учат, что для кошулево двойственной алгебры базис Грёбнера состоит из x^2+yx, xz,zy, и xyx+y^2x. Что-то мне в это с трудом верится. Мне кажется, например, что xy^2x+y^3x тоже надо добавить, и вообще xy^kx+y^{k+1}x для всех k.

[vanja-y.livejournal.com]

Если переменные упорядочить y>x>z, то базис Грёбнера дуальной алгебры будет

yx+x^2, xz,zy, zx^2.

Правда резольвента Аника всё равно бесконечная.

[shuffle81.livejournal.com]

Да, конечно. Но для их порядка и бесконечного базиса Грёбнера резольвента очень хорошая, кстати, хоть и бесконечная. А для этого как-то хуже, мне показалось.

[vanja-y.livejournal.com]

Если использовать оба базиса Грёбнера, то, вроде, получается довольно короткое рассуждение.

Я буду предполагать, что все модули левые, и, соответственно, вершины в графе Уфнаровского будут префиксами ведущих мономов базиса Грёбнера.


Назовём (n-1)-цепь Аника хорошей, если она проходит лишь через вершины x, y и z соответствующего графа Уфнаровского. Иначе (n-1)-цепь будет называться плохой.

Алгебра с соотношениями x^2+yx, xz,zy биградуирована с

deg(x) = deg (y) = (1,0 ) и deg(z)=(0,1).

Понятно, что эта биградуировка индуцируют биградуировку на цепях Аника и группах кручения.

Скажем, что (i,j) критическая бистепень для n, если

1) i+j >n

2) сущесвуют (n-1)-цепи Аника бистепени (i,j) относительно обоих базисов Грёбнера.

Понятно, что если i+j >n и при этом (i,j) не критична для n то

Tor_n ^i,j (K,K) =0.

Значит, чтобы доказать Кошулевость достаточно проверить, что Tor_n ^i,j (K,K) =0 для каждого n и всех (i,j) критичных для этого n.




Вершины графа Уфнаровского для базиса Грёбнера
x^2+yx, xz,zy, xy^kx+y^{k+1}x

суть

1, x, y, z, xy^k c k ≥ 1.

В вершину "y" входит лишь стрелка из 1, а в вершину z входит одна стрелка из 1 и одна стрелка из y.
В частности, каждая цепь Аника либо не проходит через вершину z, либо проходит через нее в точности один раз. Таким образов бистепень любой цепи Аника будет иметь вид либо (i,0), либо (i,1).

Вершины графа Уфнаровского для базиса Грёбнера
yx+x^2, xz,zy, zx^2

суть

1, x, y, z, zx.

Значит любая плохая цепь Аника имеет бистепень (i,j) с j ≥ 1.

Таким образом все критические бистепени должны иметь вид (i,1) для некоторо i.

Заметим, что

a)плохая цепь бистепени (i,1) во втором графе Уфнаровского не может проходить через вершину z.

b) плохая цепь бистепени (i,1) в первом графе Уфнаровского должна проходить через z. Так как в этом графе Уфнаровского есть лишь одна исходящая из z стрелка, и эта стрелка ведет в x, мы получает, что (i,1) может быть критической бистепенью только для n ≥ 3.

Теперь, если выкинуть z из второго графа Уфнаровского, то мы получим граф со стрелками

1 -> x
1 -> y
x-> y
x -> zx
zx -> x

Нас интересуют пути начинающиеся в 1, проходящей через zx в точности один раз, и проходящие не менее чем через 4 вершины (включая 1).
Такие пути исчерпываются

1 -> x -> zx -> x

1 -> x -> zx -> x -> y.

Первый путь дает 2-цепь Аника xzx^2 бистепени (3,1), а второй 3-цепь Аника yxzx^2 бистепени (4,1).

Можно проверить, что (3,1) будет критической бистепенью для 2, а (4,1) будет критической для 3.

Утверждение, что xzx^2 и yxzx^2 дают нулевые классы в группах кручения следует из вычислений

d( .yx) = y..x - i ( y d.x)) = y.x - i (yx.) = y.x + i(x^2) = y.x + x.x

d (.zyx) = z.yx - i ( z d(.yx) ) = z.yx - i( zx.x) = z.yx - .zx^2

d( .xzyx ) = x.zyx - i ( x d ( .zyx ) ) = x.zyx + i(x.zx^2) = x.zyx + .xzx^2

d( .yxzyx) = y.xzyx - i ( y d (.xzyx) ) = y.xzyx - i (y.xzx^2) = y.xzyx - .yxzyx

[shuffle81.livejournal.com]

Вроде я прикинул с резольвентой Аника, и получается и впрямь кошулева алгебра - для базиса Грёбнера, что у них (должен был получиться) резольвента Аника может быть вполне явно вычислена. Но доказательство у них неверное всё же.

[posic.livejournal.com]

Интересно. Спасибо!