(no subject)

[posic]

Самый мучительный момент в работе математика -- это когда у него выводится противоречие.

Comments

[french-man.livejournal.com]

А почему точность - открытое свойство?

[posic.livejournal.com]

Вообще-то там есть специальный инвариант -- "кручение Уайтхеда". (Мы его на семинаре Гельфанда изучали, когда я на 1-м курсе, что ли, учился.) Но можно сказать просто: ранги всех дифференциалов при специализации-вырождении не увеличиваются, а значит размерности гомологий не уменьшаются.

Ситуация с алгебрами Ли забавнее: там есть уравнение, которому удовлетворяют все неполупростые алгебры Ли (и только они), и есть другое уравнение, которому удовлетворяют все полупростые алгебры Ли (но, конечно, не только они).

[french-man.livejournal.com]

Все равно не врубаюсь, но неважно.

Мы сейчас пакуемся в путь, а когда вернемся, я Вас еще подостаю дурацкими вопросами. ОК?

[posic.livejournal.com]

Конечно. Пожалуйста.

[posic.livejournal.com]

Пусть точка x в пространстве комплексов соответствует точному комплексу; покажем, что у нее есть открытая окрестность Зарисского, в которой все комплексы точны. Мы, конечно, предполагаем пространства комплексов фиксированными -- варьируются только дифференциалы.

Рассмотрим все комплексы, у которых ранг каждого дифференциала не меньше, чем ранг соответствующего дифференциала в комплексе x. Это открытое условие (не все миноры определенного размера в матрице соотв. дифференциала равны нулю). Все комплексы, удовлетворяющие этому условию, точны (поскольку точность означает, что сумма рангов двух соседних дифференциалов равна размерности соотв. члена комплекса; причем большей сумма рангов быть не может, до тех пор пока это комплекс).

[french-man.livejournal.com]

Thanks. Now I understood!

[justpasha.livejournal.com]

Ух. Это интересно. И про алгебры Ли, и про комплексы. Есть ссылки какие-нибудь, или это фольклор?

[posic.livejournal.com]

Для меня фольклор, а вообще ссылки существуют, наверно. Про кручение Уайтхеда см. ниже; как я слыхал, оно используется для построения инвариантов трехмерных многообразий.

Про алгебры Ли я это сам придумал. Уравнение, которому удовлетворяют все неполупростые алгебры Ли и только они, можно найти в любом учебнике -- это вырожденность билинейной формы (x,y) = tr ad(x)ad(y) (формы следа в присоединенном представлении). Уравнение, которому удовлетворяют все полупростые и нильпотентные, но не все разрешимые алгебры Ли, возникает в теории когомологий. Это, на самом деле, система линейных (!) уравнений: tr ad(x) = 0 для всех x. Это значит, что операторы присоениненного представления лежат в sl, т.е. сохраняют объем. Это свойство
называется "унимодулярность", если я правильно помню. Оно эквивалентно одномерности (незанулению) старших когомологий H^{dim g}(g, k).

[posic.livejournal.com]

А кручение Уайтхеда -- это такая функция на пространстве всех точных комплексов со значениями в k^*. Строится так: для любого конечномерного комплекса рассмотрим знекопеременное тензорное произведение старших внешних степеней всех пространств комплекса, а также аналогичное произведение для пространств гомологий. Эти два одномерных пространства каноническим образом изоморфны (как бы мультипликативная эйлерова характеристика такая, только со значениями не в числах, а в одномерных векторных пространствах). Теперь если пространства комплекса у нас зафиксированы, то можно выбрать отождествление соответствующей прямой с k, а если гомологий нет, то соответствующая им прямая оказывается канонически изоморфной k. Сравнивая эти два изоморфизма, получаем ненулевое число.

Дальше я не помню подробностей, но в целом утверждается, что при вырождении комплекса в неточный эта функция всегда обращается в нуль, бесконечность или неопределенность. Таким образом должно быть можно доказать, что точность -- не просто открытое, но даже аффинное открытое условие.