posic | Редукция коэффициентов в мотивах Артина-Тейта: заключение

Теперь, когда доказательства в первом приближении написаны, можно сформулировать, что же, собственно, нам, кажется, удалось доказать. Сначала повторим еще раз обозначения, а то они немного менялись от начала этой серии постингов к концу.

Пусть Γ -- проконечная группа, Δ -- ее нормальная подгруппа, k -- полное нетерово локальное кольцо, χ: Γ → k* -- непрерывный характер. Пусть A = A_k обозначает точную категорию конечно-порожденных свободных k-модулей с непрерывным действием G, а A⁺ = A_k⁺ -- точную категорию k-свободных k-контрамодульных k(Γ)-комодулей. Согласно комодульно-контрамодульному соответствию над k, категория A_k эквивалентна точной категории косвободных k-(ко)модулей конечного ранга с дискретным действием G, а категория A_k⁺ -- точной категории произвольных косвободных k-(ко)модулей с дискретным действием G.

Пусть E_k⁰ обозначает аддитивную категорию конечно-порожденных перестановочных Γ/Δ-модулей над k (конечно-порожденных свободных k-модулей с базисом, переставляемым дискретным действием Γ/Δ), и пусть E_k⁰⁺ -- полная подкатегория в A_k⁺, состоящая из прямых сумм объектов из E_k⁰ (где нужно перейти к k-косвободным k-комодульным дискретным Γ-модулям -- см. выше -- для того, чтобы в явном виде вычислять такие прямые суммы). Аддитивные категории E_k⁰ и E_k⁰⁺ снабжаются тривиальными (расщепимыми) структурами точных категорий.

Обозначим через E = E_k категорию Γ-модулей над k, градуированных целыми числами, в которых компонента степени j представляет собой некоторый объект категории E_k⁰ с действием Γ, подкрученным на χ^j. Аналогично, E⁺ = E_k⁺ обозначает категорию градуированных k-контрамодульных k(Γ)-комодулей, в которых компонента степени j есть некоторый объект категории E_k⁰⁺ с действием Γ, подкрученным на χ^j. Как и выше (и ниже), можно использовать косвободные k-(ко)модули вместо свободных k-контрамодулей.

Пусть F = F_k -- категория конечно фильтрованных k-модулей с конечно-порожденными свободными присоединенными факторами, снабженных непрерывным действием группы Γ, согласованным с фильтрацией, присоединенные факторы которых по фильтрации суть градуированные Γ-модули из категории Е. Аналогично, F⁺ = F_k⁺ -- это категория конечно фильтрованных k-контрамодулей со свободными присоединенными факторами, снабженных кодействием k-контрамодульной коалгебры k(Γ), согласованным с фильтрацией, присоединенные факторы которых по фильтрации суть градуированные Γ-модули из категории Е⁺.

Аддитивные категории Е и E⁺ снабжаются тривиальными структурами точных категорий, категории F и F⁺ -- структурами точных категорий, в которой тройка с нулевой композицией точна, если соответствующая тройка присоединенных факторов точна в E или E⁺ (т.е., расщепимо точна). Обозначим через X → X(j) функторы подкрутки на категориях E, E⁺, F, F⁺, сдвигающие номера фильтрации/градуировки на j и одновременно подкручивающие действие Γ на χ^j (а также функторы подкрутки на категориях A и A⁺, просто подкручивающие действие Γ на χ^j).

Нетрудно показать, что для любых объектов X и Y, сосредоточенных в нулевой компоненте фильтрации в категории F или F⁺, группы Ext_Fⁿ(X,Y(m)) или, соответственно, Ext_F⁺ⁿ(X,Y(m)) зануляются при n > m. Мы говорим, что точная категория F_k или F_k⁺ "удовлетворяет основной гипотезе", если забывающий функтор из категории F_k или F_k⁺ в категорию A_k⁺ индуцирует изоморфизмы Ext_Fⁿ(X,Y(m)) = Ext_A⁺ⁿ(X,Y(m)) или, соответственно, Ext_F⁺ⁿ(X,Y(m)) = Ext_A⁺ⁿ(X,Y(m)) при всех n ≤ m.