![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicТеперь, когда доказательства в первом приближении написаны, можно сформулировать, что же, собственно, нам, кажется, удалось доказать. Сначала повторим еще раз обозначения, а то они немного менялись от начала этой серии постингов к концу.
Пусть Γ -- проконечная группа, Δ -- ее нормальная подгруппа, k -- полное нетерово локальное кольцо, χ: Γ → k* -- непрерывный характер. Пусть A = Ak обозначает точную категорию конечно-порожденных свободных k-модулей с непрерывным действием G, а A+ = Ak+ -- точную категорию k-свободных k-контрамодульных k(Γ)-комодулей. Согласно комодульно-контрамодульному соответствию над k, категория Ak эквивалентна точной категории косвободных k-(ко)модулей конечного ранга с дискретным действием G, а категория Ak+ -- точной категории произвольных косвободных k-(ко)модулей с дискретным действием G.
Пусть Ek0 обозначает аддитивную категорию конечно-порожденных перестановочных Γ/Δ-модулей над k (конечно-порожденных свободных k-модулей с базисом, переставляемым дискретным действием Γ/Δ), и пусть Ek0+ -- полная подкатегория в Ak+, состоящая из прямых сумм объектов из Ek0 (где нужно перейти к k-косвободным k-комодульным дискретным Γ-модулям -- см. выше -- для того, чтобы в явном виде вычислять такие прямые суммы). Аддитивные категории Ek0 и Ek0+ снабжаются тривиальными (расщепимыми) структурами точных категорий.
Обозначим через E = Ek категорию Γ-модулей над k, градуированных целыми числами, в которых компонента степени j представляет собой некоторый объект категории Ek0 с действием Γ, подкрученным на χj. Аналогично, E+ = Ek+ обозначает категорию градуированных k-контрамодульных k(Γ)-комодулей, в которых компонента степени j есть некоторый объект категории Ek0+ с действием Γ, подкрученным на χj. Как и выше (и ниже), можно использовать косвободные k-(ко)модули вместо свободных k-контрамодулей.
Пусть F = Fk -- категория конечно фильтрованных k-модулей с конечно-порожденными свободными присоединенными факторами, снабженных непрерывным действием группы Γ, согласованным с фильтрацией, присоединенные факторы которых по фильтрации суть градуированные Γ-модули из категории Е. Аналогично, F+ = Fk+ -- это категория конечно фильтрованных k-контрамодулей со свободными присоединенными факторами, снабженных кодействием k-контрамодульной коалгебры k(Γ), согласованным с фильтрацией, присоединенные факторы которых по фильтрации суть градуированные Γ-модули из категории Е+.
Аддитивные категории Е и E+ снабжаются тривиальными структурами точных категорий, категории F и F+ -- структурами точных категорий, в которой тройка с нулевой композицией точна, если соответствующая тройка присоединенных факторов точна в E или E+ (т.е., расщепимо точна). Обозначим через X → X(j) функторы подкрутки на категориях E, E+, F, F+, сдвигающие номера фильтрации/градуировки на j и одновременно подкручивающие действие Γ на χj (а также функторы подкрутки на категориях A и A+, просто подкручивающие действие Γ на χj).
Нетрудно показать, что для любых объектов X и Y, сосредоточенных в нулевой компоненте фильтрации в категории F или F+, группы ExtFn(X,Y(m)) или, соответственно, ExtF+n(X,Y(m)) зануляются при n > m. Мы говорим, что точная категория Fk или Fk+ "удовлетворяет основной гипотезе", если забывающий функтор из категории Fk или Fk+ в категорию Ak+ индуцирует изоморфизмы ExtFn(X,Y(m)) = ExtA+n(X,Y(m)) или, соответственно, ExtF+n(X,Y(m)) = ExtA+n(X,Y(m)) при всех n ≤ m.
Пусть Γ -- проконечная группа, Δ -- ее нормальная подгруппа, k -- полное нетерово локальное кольцо, χ: Γ → k* -- непрерывный характер. Пусть A = Ak обозначает точную категорию конечно-порожденных свободных k-модулей с непрерывным действием G, а A+ = Ak+ -- точную категорию k-свободных k-контрамодульных k(Γ)-комодулей. Согласно комодульно-контрамодульному соответствию над k, категория Ak эквивалентна точной категории косвободных k-(ко)модулей конечного ранга с дискретным действием G, а категория Ak+ -- точной категории произвольных косвободных k-(ко)модулей с дискретным действием G.
Пусть Ek0 обозначает аддитивную категорию конечно-порожденных перестановочных Γ/Δ-модулей над k (конечно-порожденных свободных k-модулей с базисом, переставляемым дискретным действием Γ/Δ), и пусть Ek0+ -- полная подкатегория в Ak+, состоящая из прямых сумм объектов из Ek0 (где нужно перейти к k-косвободным k-комодульным дискретным Γ-модулям -- см. выше -- для того, чтобы в явном виде вычислять такие прямые суммы). Аддитивные категории Ek0 и Ek0+ снабжаются тривиальными (расщепимыми) структурами точных категорий.
Обозначим через E = Ek категорию Γ-модулей над k, градуированных целыми числами, в которых компонента степени j представляет собой некоторый объект категории Ek0 с действием Γ, подкрученным на χj. Аналогично, E+ = Ek+ обозначает категорию градуированных k-контрамодульных k(Γ)-комодулей, в которых компонента степени j есть некоторый объект категории Ek0+ с действием Γ, подкрученным на χj. Как и выше (и ниже), можно использовать косвободные k-(ко)модули вместо свободных k-контрамодулей.
Пусть F = Fk -- категория конечно фильтрованных k-модулей с конечно-порожденными свободными присоединенными факторами, снабженных непрерывным действием группы Γ, согласованным с фильтрацией, присоединенные факторы которых по фильтрации суть градуированные Γ-модули из категории Е. Аналогично, F+ = Fk+ -- это категория конечно фильтрованных k-контрамодулей со свободными присоединенными факторами, снабженных кодействием k-контрамодульной коалгебры k(Γ), согласованным с фильтрацией, присоединенные факторы которых по фильтрации суть градуированные Γ-модули из категории Е+.
Аддитивные категории Е и E+ снабжаются тривиальными структурами точных категорий, категории F и F+ -- структурами точных категорий, в которой тройка с нулевой композицией точна, если соответствующая тройка присоединенных факторов точна в E или E+ (т.е., расщепимо точна). Обозначим через X → X(j) функторы подкрутки на категориях E, E+, F, F+, сдвигающие номера фильтрации/градуировки на j и одновременно подкручивающие действие Γ на χj (а также функторы подкрутки на категориях A и A+, просто подкручивающие действие Γ на χj).
Нетрудно показать, что для любых объектов X и Y, сосредоточенных в нулевой компоненте фильтрации в категории F или F+, группы ExtFn(X,Y(m)) или, соответственно, ExtF+n(X,Y(m)) зануляются при n > m. Мы говорим, что точная категория Fk или Fk+ "удовлетворяет основной гипотезе", если забывающий функтор из категории Fk или Fk+ в категорию Ak+ индуцирует изоморфизмы ExtFn(X,Y(m)) = ExtA+n(X,Y(m)) или, соответственно, ExtF+n(X,Y(m)) = ExtA+n(X,Y(m)) при всех n ≤ m.
