Еще о редукции точных категорий - 2

[posic]

Наряду с аналогом "цело-цело-конечной" последовательности Бокштейна, обсуждавшимся в предыдущих постингах, хотелось бы иметь также аналог "конечно-конечно-конечной" последовательности в общей ситуации редукции точных категорий. Для простоты, мы ограничимся здесь редукциями по эндоморфизмам тождественного функтора.

Пусть F -- точная категория, и пусть σ, τ: Id_F → Id_F -- два естественных преобразования, бьющих из тождественного эндофунктора на категории F в него самого. Другими словами, для всех объектов X ∈ F заданы эндоморфизмы σ_X, τ_X: X → X, образующие коммутативные диаграммы со всеми морфизмами X → Y в категории F.

Предположим, что для каждого трех естественных преобразований σ, τ, στ: Id_F → Id_F существуют дополнительные данные ("консервативные точные функторы" в подходящие базовые точные категории), с помощью которых можно определить редуцированные точные категории G_σ = F/σ, G_τ = F/τ, G_στ = F/στ. (Будем предполагать, опять же для простоты, во всех трех случаях, что функторы подкрутки на базовых категориях тоже тождественные.)

Обозначим функторы редукции через g_σ: F → G_σ и аналогично для τ и στ. Утверждается, что в этих условиях для любых двух объектов X,Y ∈ F имеется естественная длинная точная последовательность

Ext_Gτⁿ(g_τ(X),g_τ(Y)) → Ext_Gστⁿ(g_στ(X),g_στ(Y)) → Ext_Gσⁿ(g_σ(X),g_σ(Y)) → Ext_Gτⁿ⁺¹(g_τ(X),g_τ(Y)) →

Строится эта точная последовательность следующим образом. Вторая стрелка Ext_Gστⁿ(g_στ(X),g_στ(Y)) → Ext_Gσⁿ(g_σ(X),g_σ(Y)) индуцирована естественным точным функтором G_στ → G_σ, существующим постольку, поскольку всякий функтор, аннулирующий σ, аннулирует также и στ (и в предположении, что консервативный точный функтор F → E_σ, с помощью которого строится точная категория G_σ, раскладывается в композицию консервативного точного функтора F → E_στ, с помощью которого строится точная категория G_στ, и какого-то точного функтора E_στ → E_σ) (зачеркнутое неверно; как строить вторую стрелку, объясняется в следующем постинге).

Граничное отображение ("гомоморфизм Бокштейна") Ext_Gσⁿ(g_σ(X),g_σ(Y)) → Ext_Gτⁿ⁺¹(g_τ(X),g_τ(Y)) есть композиция граничного отображения Ext_Gσⁿ(g_σ(X),g_σ(Y)) → Ext_Fⁿ⁺¹(X,Y) и отображения Ext_Fⁿ⁺¹(X,Y) → Ext_Gτⁿ⁺¹(g_τ(X),g_τ(Y)), индуцированного функтором g_τ. Что касается первой стрелки Ext_Gτⁿ(g_τ(X),g_τ(Y)) → Ext_Gστⁿ(g_στ(X),g_στ(Y)), то она строится аналогично тому, как (но проще, чем) строится в разделе 4.5 статьи Mixed Artin-Tate motives... (вышеупомянутое) граничное отображение в "цело-цело-конечной" последовательности Бокштейна.

Конструкция основана на лемме 4.5 из раздела 4.4 той же статьи, согласно которой "большое градуированное кольцо" Ext_Gτ*(g_τ(X),g_τ(Y))_X,Y∈F индуцировано со своей нулевой градуировочной компоненты как (левый или правый) "большой градуированный модуль" над большим градуированным кольцом Ext_F*(X,Y)_X,Y∈F (в смысле, с нулевой градуировочной компоненты как модуля над нулевой градуировочной компонентной последнего большого кольца). Поэтому достаточно построить искомое отображение на классах Ext степени 0 и проверить необходимые согласования.

Пусть имеется морфизм g_τ(X) → g_τ(Y) в категории G_τ. Тогда можно подобрать допустимый эпиморфизм X' → X, допустимый мономорфизм Y → Y' и морфизмы X' → Y и X → Y' в категории F, образующие коммутативный квадрат в категории F, образы которых при функторе g_τ вместе с исходным морфизмом образуют два коммутативных треугольника с общим ребром в точной категории G_τ. Квадрат из морфизмов в категории F коммутативен по модулю идеала морфизмов, делящихся на τ. Заменяя обе стрелки X' → Y и X → Y' на их композиции с эндоморфизмами σ (все равно, какой из вершин, т.к. естественное преобразование), получаем новый коммутативный квадрат из морфизмов с теми же вершинами в категории F, коммутативный по модулю идеала морфизмов, делящихся на στ.

Пусть K → X' -- ядро допустимого эпиморфизма X' → X и Y' → C -- коядро допустимого мономорфизма Y → Y'. Тогда композиции K → X' → Y и X → Y' → C делятся на τ, если подразумеваются исходные морфизмы X' → Y и X → Y' (поскольку они аннулируются функтором g_τ), и, следовательно, на στ, eсли новые. Ввиду последнего, коммутативный (согласно предыдущему абзацу) образ нового квадрата при функторе g_στ можно (единственным образом) дополнить стрелкой g_στ(X) → g_στ(Y) так, чтобы коммутативность сохранилась. Искомое отображение на классах Ext степени 0 построено.

Согласованность с умножениями на морфизмы, приходящие из F, сразу следует из этих построений, так что отображение можно продолжить на классы Ext всех степеней. Остается показать, что "левая" и "правая" конструкции искомого отображения дают одинаковый результат. Достаточно проверить это для классов Ext степени 1, что делается с помощью чуть более простой версии того же рассуждения, которым доказывается аналогичное утверждение в разделе 4.5 все той же статьи. Вместо квадрата 3x3 из коротких точных последовательностей, который строится в разделе 4.5, надо будет просто построить морфизм коротких точных последовательностей, выражающий искомое равенство левой и правой композиций морфизмов с классами Ext^1.

Из сравнения конструкции выше с конструкцией "цело-цело-конечного" отображения Бокштейна в том же разделе 4.5 ясно, что композиция построенного отображения Ext_Gτⁿ(g_τ(X),g_τ(Y)) → Ext_Gστⁿ(g_στ(X),g_στ(Y)) с граничным отображением Ext_Gστⁿ(g_στ(X),g_στ(Y)) → Ext_Fⁿ⁺¹(X,Y) равна граничному отображению Ext_Gτⁿ(g_τ(X),g_τ(Y)) → Ext_Fⁿ⁺¹(X,Y). Теперь нетрудно убедиться, что описанная в постинге http://posic.livejournal.com/994724.html диаграмма, составленная из групп Ext между образами объектов X, Y ∈ F в категориях F, G_σ, G_τ, G_στ коммутативна, так что точность искомой "конечно-конечно-конечной" последовательности Бокштейна следует из точности "цело-цело-конечных" последовательностей Б. ввиду аргумента с диаграммным поиском, о котором говорится в том постинге.

Comments

[posic.livejournal.com]

Потому, что математика -- это иерархия абстракций. От овладения понятием математического доказательства до овладения основными концепциями, на которые опирается этот постинг -- 5-10 лет упорной учебы. В зависимости от возраста, способностей и т.д.

[greygreengo.livejournal.com]

А если мне от математики нужен всего-навсего единственный метод - вот хочу я научиться интегрировать действия для полевых переменных не по траекториям, как в фейнмановском формализме, а по калибровочным связностям - свойствам полей сохранять свои качества под воздействием некоторых групповых преобразований, вы меня тоже пошлете в длительные тренировки по диагонализации квадратичных форм?

[posic.livejournal.com]

Я скажу, что ничего об этом не знаю, и вообще это, видимо, не математика, а физика. Соответственно, к физикам вас и пошлю. А там уж они не знаю, куда пошлют. Я никого в длительные тренировки по обращению матриц и решению ОДУ в квадратурах не посылал никогда и не посылаю -- но я и не физик. Я посылаю решать задачки для настоящих математиков -- красивые, нестандартные, одна на другую не похожие. На доказательство, и т.д.

[greygreengo.livejournal.com]

Намекаете на двухтомник Полиа Сеге?

[posic.livejournal.com]

Я не помню даже, как он называется. Что там внутри содержится, тем более. "Задачи и теоремы из анализа" -- это он? В любом случае, я думаю, что-то аналитическое. Однако, я алгебраист. Анализ последний раз преподавал... не считая приема задач из листков... в 1993-94 годах, что ли? Что-то в этом роде.

[xgrbml.livejournal.com]

Там ТФКП в основном. Довольно-таки олимпиадное.

[posic.livejournal.com]

Трудности объяснения нематематику, в чем состоит математическое образование -- в смысле, образование, которое нужно получить, чтобы понимать научную математику.

Реальность (очень грубо-приблизительно): прочитать десять книг на разные темы, в порядке быстрого возрастания сложности и абстрактности, прорешав по два десятка упражнений к каждой. Или прослушать двадцать курсов на разные темы, тоже в порядке возрастания, прорешав по три десятка упражнений к каждому. После этого прочитать тридцать статей, внимательно разобрав доказательства.

Представление нематематика: решить два тома упражнений на одну тему (о существовании других тем он не слыхал, и саму возможность их существования вообразить себе ему не удается).

[greygreengo.livejournal.com]

Собственно, суть вопроса в том и состоит - каков шаг возрастания уровня абстрактного, чтобы не терялась связность восприятия математики как предмета, обладающего собственным методом - читай средством объяснения процесса мышления. Причем, для связного и непротиворечивого понимания математика, по моему имхо, должна иметь объяснения взаимно доступные для профессионалов-математиков из разных ее частей.
То есть язык иерархического структурирования переходов от частного к общему должен иметь оинаковые слова как для алгебраистов, так для функанщиков и топологогеометрических представителей.

[buddha239.livejournal.com]

В некоторых книгах (учебниках и монографиях) написано, что для понимания, скажем, главы 7 нужно прочитать главы 1, 3 и 6. Так что Вы можете поискать нужные Вам термины в книгах, выяснить, во что нужно вникнуть, чтобы разобраться в материале, потом найти где-нибудь эти предварительные сведения, и.т.д. Скорее всего, в итоге от Вас не потребуется учить "всю математику". Но если ограничится только минимально необходимым набором литературы, полученное знание будет достаточно "дырявым".

Как вариант - можно попросить человека, который хорошо разбирается в интересующем Вас вопросе, потратить пару вечеров на то, чтобы подобрать Вам литературу.

[greygreengo.livejournal.com]

Я говорил о достаточно частном вопросе, для понимания которого знание всей математики является избыточным. Достаточно часто развитие науки идет вполне независимыми параллельными курсами - теория групп Галуа, Абеля и Ли являясь по сути совершенно отдельной областью абстрактных задач вдруг становится едва ли не самым востребованным инструментом у квантовых расчетчиков атомных и молекулярных спектров и тогда физики учат скороговорки о характерах неприводимых представлений, и поэтому хочется выяснить как физически, не изобретая велосипеда использовать тот уровень иерархически структурированной сложности современных систем алгебраической математики в применении к решению нетривиальных постановок физических задач.

[buddha239.livejournal.com]

Да, знание всей математики для этого вопроса избыточно - что весьма удачно, потому что всю математику не знает никто.:) Но вычленить ту часть математики, которая необходима - нетривиальная задача.