Есть еще порох

[posic]

Придумал я, как доказать кошулевость алгебры замкнутых форм. На любом ацикличном многообразии с тривиальным касательным расслоением этальным отображением в аффинное пространство, более-менее так. Надо рассмотреть "горизонтальную внешнюю алгебру" (порожденную dx_i над полем констант) и доказывать "относительную кошулевость" алгебры замкнутых форм над этой внешней алгеброй. Для чего использовать комплекс ...-> \Omega* -> \Omega* -> Z*.

М. очень доволен. Утверждает, что филдсовский лауреат К. как-то пытался это доказать и не смог. Если б захотел, смог бы, конечно.

Эх, если бы кошулевость алгебры Милнора можно было доказать так просто! Кстати, алгебра Милнора отображается в алгебру замкнутых форм в общей точке многообразия соответствующего, известным отображением f -> d log(f). Надо бы посмотреть, что там происходит в характеристике p.

Пойду в библиотеку смотреть.

Comments

Re: (это Дима Пионтковский)

[posic.livejournal.com]

Дима, привет!

Вообще-то эта алгебра отличается прежде всего тем, что ее компоненты бесконечномерны. Бесконечное множество образующих, бесконечно много соотношений. Это не беда -- определить понятие PBW-базиса для таких алгебр вполне можно. Но имеет ли такой базис конкретная алгебра замкнутых форм, я не знаю. Просто не думал об этом. А соотношения же ведь выписаны в абстрактном виде в моей предыдущей записи.

Кстати, понимаете ли Вы про "относительную кошулевость"? Если A->B -- гомоморфизм градуированных алгебр и Tor^A_ij(k,B) сосредоточен на двух диагоналях i=j и i+1=j, то кошулевость A влечет кошулевость B (если же этот Tor живет тольно на диагонали i=j, то кошулевость A эквивалентна кошулевости B).

Re: (это Дима Пионтковский)

[(Anonymous)]

Леня, добрый вечер!

Я некоторое время назад решил узнать, что нового в мире происходит с козюлевыми алгебрами и (в частности) не придумали ли Вы чего-нибудь нового, спросил у GOOGLE, и так впервые в жизни попал в LiveJournal. Сегодня я сделал то же и обнаружил, что Вы ответили!

Да, про относительную кошулевость -- это красиво! Это получается из того, что стандартная спектралка Торов останавливается на втором же члене, да?

Про алгебру я спрашивал потому, что не знаю геометрии.
Насколько я понимаю, функции на диске -- это просто
многочлены от бесконечного числа переменных? А на другом
хорошем многообразии (скажем, квадр. полном пересечении), наверное, тоже получатся козюлевы алгебры?

И еще вопрос: можно мне написать про Ваш результат, что у алгебр огр. рэйта конечное число рядов Гильберта? Это мне нужно для рациональности у рэйт-фильтраций, я Вам писал.
Я, конечно, напишу, что это Вы придумали.

PS А письма русскими буквами Вы тоже можете читать?

Re: (это Дима Пионтковский)

[(Anonymous)]

нет, извините, не многочлены... вообще не квадратичные соотношения получаются...