[personal profile] posic
Понял, как правильно выразить свои ощущения от стоящего вокруг шума.

По-научному говоря, бесконечность-категорные гомотопические техники должны, наверное, классифицироваться по разряду того, что в теории гомотопий называют "машинами". Как таковые, они не производят новых сущностей, а используются для переработки менее удобных инпутов в более удобные аутпуты; что-то вроде сборочного конвейера. Альтернативным образом, воспользуемся метафорой пластиковой упаковки.

В отличие, возможно, от автора постинга по ссылке, я ничего не имею против пластиковой упаковки и всячески желаю всем добрым людям приятной дороги от магазина до дома, в видах чего пластиковая упаковка незаменима. Не надо только выдавать упаковку за универсальное средство решения всех задач на свете. Принимать пластиковый пакет за новые, улучшенные сыр и мясо не обязательно. Человек, ожесточенно жующий пластик и рекомендующий всем своим знакомым жевать пластик, производит грустноватое впечатление.

На это мне скажут, что сыр и мясо в математике -- это какие-нибудь трехмерные алгебраические многообразия или характеры конечных групп (а не то, что я имею в виду). Пусть так, но есть ведь и промежуточные точки между мясом и пластиком. Гомологическую алгебру раньше сравнивали с каким-нибудь столярным-слесарным инструментом, например.

Грустновато быть в положении производителя станков для высокоточной обработки камня, дерева и металла, которому рассказывают, что по нынешним временам принято пользоваться пластиком, так что лучше бы ему переключиться на выпуск оборудования для производства пакетов для магазина. Воспоминания о том, как еще 15 или сколько лет назад меня уговаривали попытаться наладить выпуск этого пластика, а я совершенно верно решил, что с пластиком найдется кому разобраться без меня, и лучше я буду заниматься своим делом, согревают душу в такой ситуации лишь относительно.

Date: 2012-10-25 07:40 pm (UTC)
From: [identity profile] buddha239.livejournal.com
А в чем принципиальная разница между Вашими станками и пластиком у Лурье (я и правда не знаю - так как Лурье совсем не читал)?

Date: 2012-10-25 08:41 pm (UTC)
From: [identity profile] posic.livejournal.com
В контексте гомологической алгебры -- Лурье (а также Тоен и другие) объяснили, в чем конкретно может состоять более тонкая структура, стоящая за понятием триангулированной категории; как правильно учитывать там высшие гомотопии. В результате стало возможно совершать действия, невозможные с триангулированными категориями как таковыми.

Например, если у вас есть более-менее естественная конструкция триангулированной категории, связанной с аффинной схемой (+ дополнительными данными) и вы можете описать функторы согласования на пересечениях, наука Лурье, вероятно, позволит вам склеить из этого триангулированную категорию на произвольной схеме (или там стеке, и т.д.). Собственно с триангулированными категориями такое делать нельзя, но "более-менее естественная конструкция" обычно подскажет вам, как произвести требуемую высшую структуру на склеиваемых категориях, с тем, чтобы потом засунуть локально заданные категории в машину им. Лурье и получить на выходе искомую глобальную. Примерно так.

Печаль же моя в том, что долгожданное решение одной важной, но конкретной проблемы стало восприниматься как некая панацея и универсальный ключ ко всем задачам. В результате, никто уже не понимает, что прежде чем навешивать высшие гомотопии, неплохо бы определиться, на какую, собственно, триангулированную категорию вы хотите их навешивать. Что хотя бы только на аффинной схеме эту категорию надо сперва построить как-то, и там может быть целый ряд вариантов.

Что так же, как построение конкретных элементов в группах когомологий, указание конкретных коциклов играет важную роль в гомологической алгебре, так же бывает нужно строить конкретные объекты в категориях. Что в этой связи описание категории через явное указание классов объектов и морфизмов при прочих равных удобнее, чем конструкция на уровне "засунем данные в машину, покрутим ручку, получим что-то там на выходе". Что конструкция склейки не так уж и полезна, когда построение категории над аффинной или произвольной схемой представляет собой две задачи равной трудности (что имеет место в доброй половине случаев).

Начать с того, что в любом учебнике написано определение: производная категория есть локализация категории комплексов по классу квазиизоморфизмов; она является триангулированной категорией. От этой точки обычно начинают жевать понятия "локализация" и "триангулированная", и дальше жуют их впоть до самых бесконечность-категорий им. Лурье. Свой смысл в этом есть; но ведь в исходной фразе были и другие слова.

Что такое комплексы? Комплексы чего? Что такое дифференциал, квадрат дифференциала? Что такое квазиизоморфизмы? Что должно или может таковыми считаться, в зависимости от ситуации; какие есть альтернативы? Нынешний поклонник культа Лурье не поймет, о чем эти вопросы; у него есть заученные ходы мысли, за рамки которых он не выходит. Комплексы -- это на самом деле симплициальные множества или спектры, а квазиизоморфизмы -- это просто слабые эквивалентности. Ну да, модельные структуры бывают разные, и классы слабых эквивалентностей бывают разные. Разумеется.

Date: 2012-10-26 03:48 am (UTC)
From: [identity profile] buddha239.livejournal.com
Спасибо за разъяснение!!

А поклонников культа Лурье действительно много?

Date: 2012-10-26 07:26 pm (UTC)
From: [identity profile] posic.livejournal.com
Это смотря где. В телевизоре не то, что Лурье, но даже и Тао нету; все больше Перельман. В кругу чистых математиков, близких к гомологической алгебре, описанное явление встречается гораздо чаще, чем хотелось бы.

No title

Date: 2012-10-26 01:26 am (UTC)
From: [identity profile] livejournal.livejournal.com
User [livejournal.com profile] roma referenced to your post from No title (http://roma.livejournal.com/233273.html) saying: [...] По случаю [...]

June 2025

S M T W T F S
1 2 3 4 56 7
8 9 10 1112 13 14
15 161718192021
22232425262728
2930     

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jun. 17th, 2025 01:12 am
Powered by Dreamwidth Studios