Vek zhivi vek uchis', ili chislo 6

[posic]

Okazyvaetsya, gruppa perestanovok 6-elementnogo mnozhestva imeet vneshnij avtomorfizm. Ya prochital ob etom zdes':

Consider 6 things, e.g. the numerals 123456. There are 15 non-ordered pairs of them. (Call these "duads.") Also there are 15 ways to divide the original set into three duads, e.g. {(12}{34}{56}}. Call these "synthemes." Five synthemes can be chosen so as to contain each duad exactly once; and there turn out to be exactly six ways to make this choice. You can label these six sets ABCDEF. Then a permutation of 123456 induces a permutation of ABCDEF. A two-cycle such as (12) induces a product of three disjoint two-cycles such as (AB)(CD)(EF), so the map from one permutation to the other cannot be an inner automorphism.

Dovol'no zamyslovataya vse-taki konstrukciya, sopostavlyayuschaya 6-elementnomu mnozhestvu drugoe 6-elementnoe mnozhestvo. Ya esche znayu na etu temu gorazdo bolee prostuyu konstrukciyu, sopostavlyayuschuyu 4-elementnomu mnozhestvu 3-elementnoe mnozhestvo.

Ostal'nye gruppy S_n (pri n ne ravnom 6) vneshnih avtomorfizmov ne imeyut, chto netrudno dokazat', rassmotrev klass sopryazhennosti, sostoyaschij iz transpozicij, i ego obraz pri nashem avtomorfizme. Podrobnosti imeyutsya zdes' (fajl v formate postscript).

Comments

Re: Через 3 года (А_6≤PSL_3(4))

[dimpas.livejournal.com]

вот как это проще всего понять:
Автоморфизм контраградиентный, но в другом представлении, а именно, А_6≤PSL_3(4)$, где в действии на точках проективной плоскости над F_{2^2}, А_6 стабилизирует т.н. гиперовал, то есть конику (5 точек) с точкой, где встречаются все касательные
(как мы знаем, в характеристике 2 так всегда, все касательные к конике пересекаются в одной
точке). Так вот, конику стабилизирует А_5=PSL_2(4), a А_6 еще и 6ю точку подключает.

Проще всего это увидеть, взяв 4 попарно неколлинеарные точки, определенные (без ограничения
общности) над F_2. Они лежат в единственном гиперовале (что легко понять, натянув на эти 4 точки подплоскость над F_2), который автоморфизм g Галуа нашего
F_{2^2} оставляет на месте. Понятно, что g меняет местами 2 оставшиеся точки гиперовала, то есть он действует на нем как транспозиция. Поэтому А_5 и g вместе порождают S_6.

У каждого гиперовала есть ему двойственный, а именно 6 прямых, которые не содержат ни одной
из 6 наших точек. (Всего прямых 21, из них 15=\binom{6}{2} пересекают гиперовал в 2 точках, а остальные 6 не пересекают совсем.)
Теперь внешний автоморфизм получаем контраградиентным, который задается единичной матрицей. Такой автоморфизм переводит наш гиперовал в его двойственный (что опять–таки легко увидеть, расположив гиперовал подходящим образом, на 3 прямых через одну точку подплоскости, снаружи F_2-подплоскости), индуцируя внешний автоморфизм S_6.
(так как можно показать, что стабилизатор A_5 одной из наших 6 точек действует
транзитивно на этих 6 прямых.)

Отсюда уже не так далеко до построения спорадической простой группы Матье М_{22} :-)
–––––––––
может, стоит сие запостить, в расширенном виде, в virtual_ium?

Re: Через 3 года (А_6≤PSL_3(4))

[vdots.livejournal.com]

спасибо, очень интересно

может, стоит сие запостить, в расширенном виде, в virtual_ium?

Да, это было бы очень хорошо. Это требует некоторой работы (поскольку было бы правильно не ссылаться на какие-то давние разговоры, а изложить цельно) --- но того стоит. Если Вы какой-то цельный кусок этого изложите, то будет здорово, и я тоже могу чем-то поучаствовать.