Vek zhivi vek uchis', ili chislo 6
Nov. 29th, 2002 12:54 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicOkazyvaetsya, gruppa perestanovok 6-elementnogo mnozhestva imeet vneshnij avtomorfizm. Ya prochital ob etom zdes':
Consider 6 things, e.g. the numerals 123456. There are 15 non-ordered pairs of them. (Call these "duads.") Also there are 15 ways to divide the original set into three duads, e.g. {(12}{34}{56}}. Call these "synthemes." Five synthemes can be chosen so as to contain each duad exactly once; and there turn out to be exactly six ways to make this choice. You can label these six sets ABCDEF. Then a permutation of 123456 induces a permutation of ABCDEF. A two-cycle such as (12) induces a product of three disjoint two-cycles such as (AB)(CD)(EF), so the map from one permutation to the other cannot be an inner automorphism.
Dovol'no zamyslovataya vse-taki konstrukciya, sopostavlyayuschaya 6-elementnomu mnozhestvu drugoe 6-elementnoe mnozhestvo. Ya esche znayu na etu temu gorazdo bolee prostuyu konstrukciyu, sopostavlyayuschuyu 4-elementnomu mnozhestvu 3-elementnoe mnozhestvo.
Ostal'nye gruppy Sn (pri n ne ravnom 6) vneshnih avtomorfizmov ne imeyut, chto netrudno dokazat', rassmotrev klass sopryazhennosti, sostoyaschij iz transpozicij, i ego obraz pri nashem avtomorfizme. Podrobnosti imeyutsya zdes' (fajl v formate postscript).
Consider 6 things, e.g. the numerals 123456. There are 15 non-ordered pairs of them. (Call these "duads.") Also there are 15 ways to divide the original set into three duads, e.g. {(12}{34}{56}}. Call these "synthemes." Five synthemes can be chosen so as to contain each duad exactly once; and there turn out to be exactly six ways to make this choice. You can label these six sets ABCDEF. Then a permutation of 123456 induces a permutation of ABCDEF. A two-cycle such as (12) induces a product of three disjoint two-cycles such as (AB)(CD)(EF), so the map from one permutation to the other cannot be an inner automorphism.
Dovol'no zamyslovataya vse-taki konstrukciya, sopostavlyayuschaya 6-elementnomu mnozhestvu drugoe 6-elementnoe mnozhestvo. Ya esche znayu na etu temu gorazdo bolee prostuyu konstrukciyu, sopostavlyayuschuyu 4-elementnomu mnozhestvu 3-elementnoe mnozhestvo.
Ostal'nye gruppy Sn (pri n ne ravnom 6) vneshnih avtomorfizmov ne imeyut, chto netrudno dokazat', rassmotrev klass sopryazhennosti, sostoyaschij iz transpozicij, i ego obraz pri nashem avtomorfizme. Podrobnosti imeyutsya zdes' (fajl v formate postscript).
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
Через 3 года
Date: 2005-09-17 05:41 am (UTC)Re: Через 3 года
Date: 2005-09-26 10:10 pm (UTC)(если инвариантная симплектическая форма – x_0 x_3 + x_1 x_2)
Как–то это можно хорошо увидеть на 15 изотропных прямых.
То же самое проходит для всех Sp_4(F_{2^k})
(a для Sp_4(F_у), при нечетном у, не проходит – нету такого автоморфизма)
–––––––––––––––––––––––––––––––––––
Для A_5 и S_5 проще всего всего, наверно, работать с графом Петерсена, там есть разбиения на пары непересекающихся пентагонов, которых всего будет 6.
И еще конечно вложение A_5=O^-_4(F_2)<Sp_4(F_{2^k})
Re: Через 3 года
Date: 2005-09-27 05:30 am (UTC)Re: Через 3 года
Date: 2005-09-27 02:00 pm (UTC)возьмем матрицу М вышеуказанной симплектической формы, тогда
МХМ^{-1}=(X^{-1})^T, просто потому, что Х сохраняет скалярное произведение, определенное М, то есть Х^Т М Х = М.
Внешний автоморфизм группы Sp_4(F_2) должен переставлять две максимальные параболики разных типов, которые соответствуют какому–либо флагу (точка/изотропная прямая).
Re: Через 3 года (А_6≤PSL_3(4))
Date: 2005-10-09 07:23 pm (UTC)Автоморфизм контраградиентный, но в другом представлении, а именно, А_6≤PSL_3(4)$, где в действии на точках проективной плоскости над F_{2^2}, А_6 стабилизирует т.н. гиперовал, то есть конику (5 точек) с точкой, где встречаются все касательные
(как мы знаем, в характеристике 2 так всегда, все касательные к конике пересекаются в одной
точке). Так вот, конику стабилизирует А_5=PSL_2(4), a А_6 еще и 6ю точку подключает.
Проще всего это увидеть, взяв 4 попарно неколлинеарные точки, определенные (без ограничения
общности) над F_2. Они лежат в единственном гиперовале (что легко понять, натянув на эти 4 точки подплоскость над F_2), который автоморфизм g Галуа нашего
F_{2^2} оставляет на месте. Понятно, что g меняет местами 2 оставшиеся точки гиперовала, то есть он действует на нем как транспозиция. Поэтому А_5 и g вместе порождают S_6.
У каждого гиперовала есть ему двойственный, а именно 6 прямых, которые не содержат ни одной
из 6 наших точек. (Всего прямых 21, из них 15=\binom{6}{2} пересекают гиперовал в 2 точках, а остальные 6 не пересекают совсем.)
Теперь внешний автоморфизм получаем контраградиентным, который задается единичной матрицей. Такой автоморфизм переводит наш гиперовал в его двойственный (что опять–таки легко увидеть, расположив гиперовал подходящим образом, на 3 прямых через одну точку подплоскости, снаружи F_2-подплоскости), индуцируя внешний автоморфизм S_6.
(так как можно показать, что стабилизатор A_5 одной из наших 6 точек действует
транзитивно на этих 6 прямых.)
Отсюда уже не так далеко до построения спорадической простой группы Матье М_{22} :-)
–––––––––
может, стоит сие запостить, в расширенном виде, в virtual_ium?
Re: Через 3 года (А_6≤PSL_3(4))
Date: 2005-10-10 06:11 pm (UTC)Да, это было бы очень хорошо. Это требует некоторой работы (поскольку было бы правильно не ссылаться на какие-то давние разговоры, а изложить цельно) --- но того стоит. Если Вы какой-то цельный кусок этого изложите, то будет здорово, и я тоже могу чем-то поучаствовать.