Мотивы несепарабельных расширений с взаимно-простыми коэффициентами

[posic]

Пусть K → L -- конечное чисто несепарабельное расширение полей, и p: Spec L → Spec K -- соответствующий морфизм схем. Пусть A -- кольцо коэффициентов, в котором обратим элемент char K. Рассмотрим мотив над K с коэффициентами A, соответствующий схеме Spec L. Можно обозначать его через p_*A, или даже через p_!A. Хотелось бы сказать, что этот мотив совпадает с A (т.е. с мотивом спектра K над K).

Какова природа этого утверждения? Из каких общемотивных соображений оно выводится или не выводится?

Ввиду сопряженности функторов p* и p_*, есть естественное отображение φ: A → p_*A. Заменяя базу с помощью морфизма p, мы обнаруживаем, что отображение мотивных пучков p*φ связано с морфизмом схем, являющимся изоморфизмом с точностью до нильпотентов. Если мы почему-то предполагаем, что такие морфизмы схем должны индуцировать эквивалентности категорий мотивных пучков, получается, что морфизм p*φ является изоморфизмом.

Морфизм p плоский и сюръективный. Если мы почему-то предполагаем, что обратный образ при плоском сюръективном морфизме должен быть консервативным функтором, отсюда, наконец, следует, что φ -- изоморфизм.

Нельзя ли объяснить все это как-нибудь получше? Я могу, конечно, просто потребовать, чтобы универсальные гомеоморфизмы схем индуцировали эквивалентности моих триангулированных категорий мотивных пучков, но хотелось бы лучше понимать основания и импликации таких требований.

Comments

[posic.livejournal.com]

Что-то я немного запутался. Консервативность мне пока что была нужна либо для морфизма, связанного с несепарабельным расширением, либо для чего-то вроде вложения максимальной приведенной подсхемы. Первый можно считать морфизмом гладких схем, а второй вообще не плоский морфизм. Ну, ладно.