![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть K → L -- конечное чисто несепарабельное расширение полей, и p: Spec L → Spec K -- соответствующий морфизм схем. Пусть A -- кольцо коэффициентов, в котором обратим элемент char K. Рассмотрим мотив над K с коэффициентами A, соответствующий схеме Spec L. Можно обозначать его через p*A, или даже через p!A. Хотелось бы сказать, что этот мотив совпадает с A (т.е. с мотивом спектра K над K).
Какова природа этого утверждения? Из каких общемотивных соображений оно выводится или не выводится?
Ввиду сопряженности функторов p* и p*, есть естественное отображение φ: A → p*A. Заменяя базу с помощью морфизма p, мы обнаруживаем, что отображение мотивных пучков p*φ связано с морфизмом схем, являющимся изоморфизмом с точностью до нильпотентов. Если мы почему-то предполагаем, что такие морфизмы схем должны индуцировать эквивалентности категорий мотивных пучков, получается, что морфизм p*φ является изоморфизмом.
Морфизм p плоский и сюръективный. Если мы почему-то предполагаем, что обратный образ при плоском сюръективном морфизме должен быть консервативным функтором, отсюда, наконец, следует, что φ -- изоморфизм.
Нельзя ли объяснить все это как-нибудь получше? Я могу, конечно, просто потребовать, чтобы универсальные гомеоморфизмы схем индуцировали эквивалентности моих триангулированных категорий мотивных пучков, но хотелось бы лучше понимать основания и импликации таких требований.
Какова природа этого утверждения? Из каких общемотивных соображений оно выводится или не выводится?
Ввиду сопряженности функторов p* и p*, есть естественное отображение φ: A → p*A. Заменяя базу с помощью морфизма p, мы обнаруживаем, что отображение мотивных пучков p*φ связано с морфизмом схем, являющимся изоморфизмом с точностью до нильпотентов. Если мы почему-то предполагаем, что такие морфизмы схем должны индуцировать эквивалентности категорий мотивных пучков, получается, что морфизм p*φ является изоморфизмом.
Морфизм p плоский и сюръективный. Если мы почему-то предполагаем, что обратный образ при плоском сюръективном морфизме должен быть консервативным функтором, отсюда, наконец, следует, что φ -- изоморфизм.
Нельзя ли объяснить все это как-нибудь получше? Я могу, конечно, просто потребовать, чтобы универсальные гомеоморфизмы схем индуцировали эквивалентности моих триангулированных категорий мотивных пучков, но хотелось бы лучше понимать основания и импликации таких требований.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2011-10-12 04:55 am (UTC)no subject
Date: 2011-10-12 12:26 pm (UTC)Обычный когомологический мотив -- это p*Z (где p -- проекция многообразия X в S). Когомологический с компактным носителем -- это, соответственно, p!Z. У меня выше речь идет про когомологические мотивы (и вообще в этой работе про АТ-мотивные пучки речь в основном про когомологические мотивы с компактным носителем).
С гомологическими мотивами (которые у Воеводского) чуть сложнее. Я бы написал формулу типа Mh(X/S) = p!p!Z для обычного гомологического мотива, и, наверное, p*p!Z для гомологического мотива с компактным носителем. Это если в порядке изобретения велосипеда.
Если же речь идет о том, чтобы что-то почитать, то вопрос, что именно. Я попытаюсь посмотреть Чизинского-Деглизе, раз уж вы настойчиво утверждаете, что смотреть нужно именно их. Там еще Аюб чего-то писал...
no subject
Date: 2011-10-12 02:12 pm (UTC)Сизинского-Деглиза я хоть как-то осилил, в отличие от Аюба.:) Конкретно, вроде бы может помочь 12.7.6 на странице 182.
no subject
Date: 2011-10-12 06:49 pm (UTC)no subject
Date: 2011-10-12 07:43 pm (UTC)Допустим, у меня есть морфизмы A → p*A → A, и композиция их есть степень чисто несепарабельного расширения L/K, взаимно-простая с коэффициентами. Отсюда следует, что A является прямым слагаемым p*A. Но как вывести, что A = p*A ?
no subject
Date: 2011-10-12 08:37 pm (UTC)no subject
Date: 2011-10-12 08:41 pm (UTC)no subject
Date: 2011-10-12 09:01 pm (UTC)Из каких общих соображений следует, что это должно быть так, или не должно быть так -- вы, наверное, лучше меня знаете. Мой аргумент говорит: если мы принимаем за данность, что нильпотенты не имеют значения -- тогда, наверное, и чисто несепарабельное расширение не имеет значения.
no subject
Date: 2011-10-12 09:40 pm (UTC)no subject
Date: 2011-10-12 09:49 pm (UTC)no subject
Date: 2011-10-13 04:44 am (UTC)no subject
Date: 2011-10-13 06:37 am (UTC)Когда я изучал СД, очень раздражало то, что они большую часть времени не рассматривают конкретные категории мотивов, а, вместо это, изучают возможные мотивные теории аксиоматически. Но Вам это, как раз, должно быть на руку?
no subject
Date: 2011-10-13 09:24 am (UTC)Можно попробовать соединить аргумент, на который вы указали, с моим. Пусть p -- плоский конечный морфизм между схемами, в который могут быть нильпотенты. Верно ли, что для любого мотива M на базе схеме существует пара морфизмов M → p*p*M *→ M с композицией, равной умножению на степень p? Если да, то это влекло бы желаемую консервативность.
Что мне нужно, это сложный вопрос. Абстрактное обсуждение возможных теорий мотивов -- это хорошо, а конкретная теория с шестью (или хотя бы тремя) операциями, для конечных коэффициентов -- это было бы еще лучше. C и D вроде говорят, что построить такую теорию им удалось не вполне. Я, конечно, в любом случае предпочел бы сравнивать свою точную категорию не с какой-то конкретной триангулированной, а с любой, имеющей определенные свойства. Если бы у CD такая теория уже была, это было бы интереснее. Если еще нет, значит, придется подождать.
no subject
Date: 2011-10-13 09:29 am (UTC)no subject
Date: 2011-10-13 11:26 am (UTC)no subject
Date: 2011-10-14 08:42 pm (UTC)Мне этого не хватит, потому что у них там рациональные коэффициенты. Но, собственно говоря, мне нужно было не сослаться, а понять, в чем дело. Этого я до какой-то степени добился, спасибо.
Дальше, вставить условие в свой список условий я и без ссылки могу, а шесть операций с конечными коэффициентами не построены все равно у CD (если верить их собственным словам).
no subject
Date: 2011-10-15 04:22 am (UTC)no subject
Date: 2011-10-15 06:54 am (UTC)no subject
Date: 2011-10-15 12:55 pm (UTC)no subject
Date: 2011-10-20 06:59 pm (UTC)По определению, объекты Mh(X/S) должны обладать двумя свойствами. Во-первых, они должны быть ковариантно функториальны относительно произвольных морфизмов многообразий X над фиксированной базой S. Во-вторых, должен быть изоморфизм между группой морфизмов из Mh(X/S) в Z(j)[i] в триангулированной категории DM(S) и группой морфизмов из Z в Z(j)[i] в категории DM(X).
Объекты p!p!Z очевидным образом обладают первым свойством (ковариантной функториальности), ввиду согласованности функторов p!, p! с композициями морфизмов многообразий и сопряженности p! справа к p!. Что касается изоморфизма двух групп мотивных когомологий, то ввиду сопряженности мы имеем
HomDM(S)(p!p!Z, Z(j)[i]) = HomDM(X)(p!Z, p!Z(j)[i]).
Не исключено, что последнюю группу в самом деле всегда можно отождествить с HomDM(X)(Z,Z(j)[i]) по какой-то общей причине, но я этого сейчас не вижу. Ясно, однако, что это верно при условии, что обе схемы X и S гладки над какой-то общей базовой схемой T, т.к. в этом случае p!Z отличается от Z только гомологическим сдвигом и тейтовской подкруткой на разность относительных размерностей X и S над T.