Нисневич vs. cdh

[posic]

Мне нужен такой факт: естественное отображение из когомологий Нисневича алгебраического многообразия X (над совершенным полем характеристики, не делящей m) с коэффициентами в Z/m в его cdh-когомологии с теми же коэффициентами является изоморфизмом в когомологических степенях 0,1 и мономорфизмом в степени 2.

(Контекст, естественно, состоит в том, что при работе с точными категориями важно контролировать маломерные Ext-ы ровно в таком виде (Ext⁰, Ext¹, и, с точностью до вложения, Ext²).)

В связи с этим я думаю, нельзя ли показать, что производный прямой образ Z/m при отображении в X из его нормализации одинаков для топологий Нисневича и cdh?

Update: может быть, можно также пойти другим путем, заметив, что для моих целей, видимо, достаточно знать исходное утверждение про отображение из H_Nis(X,Z/m) в H_cdh(X,Z/m) только для нормальных многообразий X.

Comments

[buddha239.livejournal.com]

А что, бывают ненулевые когомологии Нисневича с постоянными коэффициентами в положительных степенях?:)

[posic.livejournal.com]

Да! Примером является аффинная прямая с двумя склеенными точками (ну или, шире, любая кривая с нодальными особенностями, у которой в графе пересечений неприводимых компонент есть цикл, включая петли, т.е. самопересечения компонент).

У таких нодальных кривых есть класс мотивных когомологий в степени 1 и весе 0, и он улавливается когомологиями Нисневича (а когомологиями Зарисского, конечно, не улавливается). Потому что у такой кривой есть этальные накрытия (конечные этальные морфизмы в нее из связных кривых), являющиеся покрытиями Нисневича.