Алгебра и геометрия
Apr. 8th, 2011 01:35 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicОтметил для себя разницу между моей (нынешней) психологией и (предположительной) психологией геометрических людей. Для геометра (видимо) коммутативное кольцо -- это технический способ локального описания алгебраического многообразия, а некоммутативное кольцо -- это обобщение коммутативного, для которого остаются верными некоторые вещи, которые верны для коммутативных колец. С алгебраическим многообразием можно связать производную категорию (когерентных или конструктивных, кто что любит) пучков, ну а про (некоторые) другие триангулированные категории можно думать, как про некоммутативные аналоги многообразий.
Для меня некоммутативное кольцо -- это базовый объект, первоначальный. Лучше всего, если это произвольное некоммутативное кольцо, ну или с умеренными ограничениями (конечной гомологической размерности, нетерово, кошулево и т.д.). Пучок колец -- это обобщение кольца, для которого остаются верными некоторые вещи, которые верны для колец. У кольца есть производная категория модулей, а у пучка колец есть производная категория пучков модулей. А алгебраическое многообразие -- это естественный объект, над которым живут пучки колец, тоже, по возможности, некоммутативных (квазикогерентные алгебры, дифференциальные операторы и проч.)
У некоммутативных колец есть чисто алгебраические аналоги и обобщения -- коалгебры над полями, топологические кольца, кокольца над кольцами, полуалгебры над коалгебрами и т.д. Какие-то из них можно связать с геометрическими объектами (инд-схемами, алгебраическими группами, группоидами, стеками и т.д.), но роль таких геометрических примеров, как и иных примеров (коалгебры связываются также с проконечными группами и проч.), скорее, иллюстративная. Объектом, про который можно по-настоящему думать и с которым можно работать, остается алгебраическое образование -- (достаточно произвольная) коалгебра и т.д. Придуманное для колец, коалгебр и коколец потом можно пытаться переносить на ситуации с геометрической компонентой (квазикогерентные алгебры и т.д.)
Для меня некоммутативное кольцо -- это базовый объект, первоначальный. Лучше всего, если это произвольное некоммутативное кольцо, ну или с умеренными ограничениями (конечной гомологической размерности, нетерово, кошулево и т.д.). Пучок колец -- это обобщение кольца, для которого остаются верными некоторые вещи, которые верны для колец. У кольца есть производная категория модулей, а у пучка колец есть производная категория пучков модулей. А алгебраическое многообразие -- это естественный объект, над которым живут пучки колец, тоже, по возможности, некоммутативных (квазикогерентные алгебры, дифференциальные операторы и проч.)
У некоммутативных колец есть чисто алгебраические аналоги и обобщения -- коалгебры над полями, топологические кольца, кокольца над кольцами, полуалгебры над коалгебрами и т.д. Какие-то из них можно связать с геометрическими объектами (инд-схемами, алгебраическими группами, группоидами, стеками и т.д.), но роль таких геометрических примеров, как и иных примеров (коалгебры связываются также с проконечными группами и проч.), скорее, иллюстративная. Объектом, про который можно по-настоящему думать и с которым можно работать, остается алгебраическое образование -- (достаточно произвольная) коалгебра и т.д. Придуманное для колец, коалгебр и коколец потом можно пытаться переносить на ситуации с геометрической компонентой (квазикогерентные алгебры и т.д.)
