Дыра в образовании (DG-алгебры эндоморфизмов)

[posic]

Вот уж много лет, как меня бесплодно тревожит вопрос: пусть есть DG-модуль, его гомотопически проективная резольвента, гомотопически инъективная резольвента. Рассмотрим DG-алгебры эндоморфизмов того и другого (резольвентного) DG-модуля; как связать их цепочкой квазиизоморфизмов?

Ввиду прогресса в науке, случившегося за эти многие годы (появления локализации В.Др.), вопрос можно переформулировать так. Пусть есть два объекта X, Y в DG-категории C, и задан их изоморфизм в H⁰(C). Как связать DG-алгебры End_C(X) и End_C(Y) цепочкой квазиизоморфизмов?

Все это знают, один я не знаю.

Update: см. коммент В.Х.; а вот как то же самое объясняет Саша Е. Пусть есть квазиизоморфизм P → I из h-проективного DG-модуля в h-инъективный. Рассмотрим конус K этого морфизма; на DG-модуле K есть фильтрация с DG-подмодулем I и фактормодулем P[1]. Рассмотрим DG-алгебру эндоморфизмов K, сохраняющих эту фильтрацию; она квазиизоморфно отображается на обе DG-алгебры эндоморфизмов DG-модулей P и I. Аналогично для гомотопической эквивалентности X → Y в DG-категории C.

Comments

[stillwhatever.livejournal.com]

Я не понимаю ни слова из того, что вы пишете о математике, но всегда читаю все от первого слова до последнего, потому что звучит это как прекрасная музыка.

[(Anonymous)]

Lenya,
I think the question is similar to what I did in my paper
"Hom. Alg. Hom. Alg", where instead of endomorphisms I looked at the derivations (actually, for complexes derivations are just endomorphisms).
The context is that of model categories. The claim is that
"derived derivations" can be calculated with cofibrant (for complexes:
K-projective in sense of Spaltenstein) resolutions. To prove independence
you check, for instance, that surjective quism of cofibrant objets
give the same result. Let, for instance, this is B--->A. You look
at the following diagram

Der(B,B) Der(A,A)
\ /
Der(B,A)
where Der(B,A) is, of course, not a Lie algebra. But the fiber product
is a Lie algebra and the projections are Lie algeba quisms.

This is not precisely what yu ask but seems to answer the same general
question.
V. Hinich

[posic.livejournal.com]

Спасибо!