![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicВот уж много лет, как меня бесплодно тревожит вопрос: пусть есть DG-модуль, его гомотопически проективная резольвента, гомотопически инъективная резольвента. Рассмотрим DG-алгебры эндоморфизмов того и другого (резольвентного) DG-модуля; как связать их цепочкой квазиизоморфизмов?
Ввиду прогресса в науке, случившегося за эти многие годы (появления локализации В.Др.), вопрос можно переформулировать так. Пусть есть два объекта X, Y в DG-категории C, и задан их изоморфизм в H0(C). Как связать DG-алгебры EndC(X) и EndC(Y) цепочкой квазиизоморфизмов?
Все это знают, один я не знаю.
Update: см. коммент В.Х.; а вот как то же самое объясняет Саша Е. Пусть есть квазиизоморфизм P → I из h-проективного DG-модуля в h-инъективный. Рассмотрим конус K этого морфизма; на DG-модуле K есть фильтрация с DG-подмодулем I и фактормодулем P[1]. Рассмотрим DG-алгебру эндоморфизмов K, сохраняющих эту фильтрацию; она квазиизоморфно отображается на обе DG-алгебры эндоморфизмов DG-модулей P и I. Аналогично для гомотопической эквивалентности X → Y в DG-категории C.
Ввиду прогресса в науке, случившегося за эти многие годы (появления локализации В.Др.), вопрос можно переформулировать так. Пусть есть два объекта X, Y в DG-категории C, и задан их изоморфизм в H0(C). Как связать DG-алгебры EndC(X) и EndC(Y) цепочкой квазиизоморфизмов?
Все это знают, один я не знаю.
Update: см. коммент В.Х.; а вот как то же самое объясняет Саша Е. Пусть есть квазиизоморфизм P → I из h-проективного DG-модуля в h-инъективный. Рассмотрим конус K этого морфизма; на DG-модуле K есть фильтрация с DG-подмодулем I и фактормодулем P[1]. Рассмотрим DG-алгебру эндоморфизмов K, сохраняющих эту фильтрацию; она квазиизоморфно отображается на обе DG-алгебры эндоморфизмов DG-модулей P и I. Аналогично для гомотопической эквивалентности X → Y в DG-категории C.
