Размышляю про пучки в топологии Зарисского

[posic]

алгебраического многообразия. Например, хотелось бы сказать, что все такие пучки суть инд-объекты в подходящей категории конструктивных пучков. Может быть, это тавтологически верно, если определять конструктивный пучок как пучок, порожденный конечным множеством своих сечений (над какими-то открытыми множествами).

Я было думал, что пучок конструктивен, если все его пространства сечений над открытыми множествами конечномерны, но это не так. Контрпример: прямая сумма продолжений нулем с убывающей последовательности открытых подмножеств. Потом я думал, что пучок конструктивен, если его слои конечномерны, но это тоже неверно. Контрпример: прямая сумма небоскребов во всех замкнутых точках. Теперь я думаю, что пучок конструктивен, если размерности его пространств сечений над открытыми множествами ограничены константой.

Чем хороши конструктивные пучки? Например, для них взятие пучка Hom может быть как-то хорошо согласовано с взятием слоя в точке.

Comments

[potap.livejournal.com]

А правда ли, что "функтор -- это пучок на нерве категории" (c)?

[posic.livejournal.com]

Я думаю, что по функтору со значениями в абелевых группах можно построить пучкок на нерве категории. Насчет большего не могу сказать.

[potap.livejournal.com]

Я цитировал Гротендика. Точнее, человека, который мне эту цитату передал. Не знаю, откуда она.

[38irtimd.livejournal.com]

это случайное совпадение терминологии или конструктивные пучки (как пучки, порождённые конечным множеством своих сечений) то же самое, что и пучки, которые локально постоянны на локально замкнутых множествах, (которых конечное количество и) которые покрывают многообразие?

[posic.livejournal.com]

То же самое. Поскольку речь идет о топологии Зарисского, достаточно говорить о пучках, постоянных (с конечномерными слоями) на стратах. Доказать это можно вот как.

Имеется понятие нетерова объекта абелевой категории. Объект нетеров, если всякая возрастающая цепочка его подобъектов стабилизируется. Класс нетеровых объектов замкнут относительно подобъектов, факторобъектов и расширений.

Ясно, что всякий нетеров пучок порожден конечным набором своих сечений. Чтобы доказать обратное, достаточно проверить, что продолжение нулем постоянного пучка с одномерным слоем с открытого подмножества нетерово. Подпучки такого пучка биективно соответствуют открытым подмножествам нашего открытого множества. Остается воспользоваться нетеровостью подлежащего топологического пространства нашей схемы, т.е. другими словами, квазикомпактностью.

Теперь всякий пучок, порожденный конечным множеством своих глобальных сечений, является коядром морфизма конечных прямых сумм продолжений нулем конечномерных постоянных пучков с открытых подмножеств. Следовательно, он конструктивен относительно любой стратификации, в которой все эти открытые подмножества являются объединениями стратов.

Наоборот, пучок, постоянный (с конечномерными слоями) на локально замкнутых подмножествах, входящих в стратификацию, является расширением прямых образов постоянных пучков с локально замкнутых подмножеств. Последние, как очевидно, порождаются конечными наборами сечений.

Мне кажется, что это рассуждение проходит, с известными модификациями, и для этальной топологии. Само утверждение, применительно к этальной топологии, имеется в первой главе SGA 4 1/2.

[38irtimd.livejournal.com]

Теперь всякий пучок, порожденный конечным множеством своих глобальных сечений, является коядром морфизма конечных прямых сумм продолжений нулем конечномерных постоянных пучков с открытых подмножеств.

я правильно понимаю, что когда говорят «постоянный пучок», имеется в виду пучок абелевых групп, а про структуру модуля на сечениях (слоях) забывают? то есть если взять какой-то случайный когерентный пучок, порождённый глобальными сечениями, у него слоями будут вообще говоря разные модули над O_x, но как абелевы группы они могут быть одинаковы.

извините, если вопрос дурацкий.

[posic.livejournal.com]

Здесь речь не идет о пучках O_X-модулей вообще. Речь идет о чем-то вроде пучков Z/l-векторных пространств. Они не бывают когерентными, а бывают конструктивными.