Мораль про алгебры с кривизной

[posic]

Помимо общего и ранее известного соображения о полезности производных категорий второго рода при работе с curved algebras, наша последняя статья содержит также одно конкретное указание. Если у вас есть CDG-алгебра и вы не знаете, как с ней бороться -- рассмотрите диагональный CDG-бимодуль B над B и попробуйте построить ему резольвенту диагонали.

В смысле, выразить его через внешние тензорные произведения CDG-модулей. С точностью до эквивалентностей второго рода -- каких именно, и с помощью каких именно (конечных или бесконечных) операций -- зависит уже от свойств подлежащей градуированной алгебры вашей CDG-алгебры. В простейших случаях (когда все нетерово и конечной гомологической размерности) все способы придать этому смысл эквивалентны.

А вот насколько часто такая резольвента диагонали существует -- этого мы пока что не понимаем.

Comments

[potap.livejournal.com]

А что это -- производные категории второго рода? Я только одни знаю.

[posic.livejournal.com]

Это возникает при рассмотрении
1. неограниченных комплексов, или
2. DG-модулей над DG-кольцами, не удовлетворяющими неким традиционным условиям положительности/отрицательности, или
3. CDG-модулей.

Проще всего привести иллюстрацию из п.1. Рассмотрим кольцо дуальных чисел, оно же внешняя алгебра с одной образующей, т.е. просто k[x]/(x^2), где k - поле. Над этим кольцом есть замечательный бесконечный в обе стороны комплекс модулей: все члены равны самому кольцу, а дифференциал есть умножение на x. Это комплекс проективных (и инъективных) модулей, ацикличный, но не стягиваемый. Ограниченных комплексов таких не бывает.

Вопрос в том, как быть с этим комплексом. Если вы объявляете его нулевым объектом вашей производной категории -- это называется производная категория первого рода. Если ненулевым -- второго.

[potap.livejournal.com]

Понятно. Переход к неограниченным комплексам. И тоже с условием квазиизоморфизма.

[posic.livejournal.com]

Собственно, суть в том, что понятие квазиизоморфизма для неограниченных комплексов можно определять по-разному. Стандартное определение (изоморфизм когомологий) подходит не для всех целей, иногда нужно более тонкое отношение эквивалентности. Для модулей с кривизной стандартное определение квазиизоморфизма вообще не имеет смысла (у них нет когомологий, т.к. квадрат дифференциала не равен нулю).

[potap.livejournal.com]

И как же вы выкручиваетесь в случае модулей с кривизной?

[posic.livejournal.com]

Там есть понятие короткой точной последовательности модулей с кривизной. Такую точную последовательность можно свернуть (просуммировать вдоль диагоналей) и получить новый модуль с кривизной. Модули, которые можно получить таким способом, объявляются тривиальными ("абсолютно ацикличными"). Их класс замыкается относительно (конусов и) бесконечных прямых сумм или, в другом варианте, прямых произведений. Морфизм модулей с кривизной объявляется эквивалентностью, если его конус принадлежит одному из классов тривиальных модулей, полученных таким способом.

[potap.livejournal.com]

Пардон, а модули с кривизной -- это не то же самое, что matrix factorization?

[posic.livejournal.com]

Matrix factorizations -- это частный случай модулей с кривизной.

[potap.livejournal.com]

О! Теперь понятно, откуда ноги растут.

[posic.livejournal.com]

Тут есть разные источники. Понятие curved DG-algebra было введено в моей работе 1993 года в связи с неоднородной квадратичной двойственностью, где такие алгебры естественно возникают. Еще раньше, в 1990 году, алгебры с кривизной рассматривались Гетцлером и Джонсом как естественные обобщения A_бесконечность алгебр. Потом А.Шварц их переоткрыл в 1999. Мои основные результаты на эту тему (опубликованные в 2009) тоже были получены в 1999. О matrix factorizations никто из перечисленных авторов в те годы ничего не знал, кажется. Новая мода на матричные факторизации как "модель Ландау-Гинзбурга" началась в 2002 году.