Поиск точки приложения для одной топологической аналогии

[posic]

Как известно, в топологии бывают обычные когомологии, а бывают когомологии с компактным носителем. Аналогично, там бывают обычные гомологии, а бывают гомологии с неограниченным носителем (Бореля-Мура). Между ними есть отображение в известную сторону, но оно далеко не изоморфизм, если пространство некомпактно.

Эта ситуация обобщается на конструктивные пучки, когерентные пучки, и прочую геометрию, но есть ли у нее аналоги в чистой алгебре? Калдарару-Ту предложили называть "Ext-ом с компактным носителем" (они писали про когомологии Хохшильда, но я буду писать про Ext, который для меня проще) то, что я (следуя Хьюзмоллеру-Муру-Сташефу 1974) называю "Ext-ом второго рода". Соответственно, то, что я называю Tor-ом второго рода, они бы назвали Tor-ом Бореля-Мура.

Сегодня в беседе по скайпу мы с С.А. придумали другой способ использовать эту аналогию. Если тот полубесконечный Ext, который строится в моем трактате (SemiExt) -- это "обычный" полубесконечный Ext, то тот полубесконечный Ext, который определяется в нашей c Р.Б. статье -- это полубесконечный Ext "с компактным носителем".

Comments

[nikaan.livejournal.com]

очень интересно, хотя и непонятно. Может, Вы знаете алгебраические попытки побороться со сходимостью у Васильева? (когда он строит симплицаильные разрешения дискриминанта) там тоже какие-то неправильные гомологии - чтобы их считать, приходиться так выпендриваться, и ещё совершенно не ясно, почему симпличиальное разрешение гомотопически эквивалентно дискриминанту(когда всё бесконечной размерности и бесконечно долго продолжается:))

[posic.livejournal.com]

К сожалению, этого я не знаю, нет. Со стороны выглядит близким к безнадежному (пространство всех инвариантов узлов компактно, пространство инвариантов Васильева дискретно, под "сходимостью" понимается, что инварианты В. различают узлы -- это невырожденность спаривания между двумя дискретными пространствами, или инъективность отображения из дискретного в компактное; как такое доказывать гомологическими средствами -- Бог весть). Ну это я известный пессимист, а если попытаться сказать корректнее -- впечатление такое, что подобное доказательство потребовало бы глубоких идей, возможно, вовсе пока еще неизвестных гомологической алгебре.

[posic.livejournal.com]

Но вы правы в том смысле, что этот вопрос про сходимость и.В. похож на то, о чем идет в моем постинге, например, на то, как соотносятся два полубесконечных Ext'а (один из которых тоже дискретный, а другой компактный) и проч. Или, (если пользоваться моей аналогией) при каких условиях можно доказать инъективность отображения из когомологий с компактным носителем в обычные когомологии, для некомпактного пространства.

[roma.livejournal.com]

Скажем для коммутативных алгебр (пусть даже гладких над полем если это что-то упростит), что есть эти Ext'ы с компактным носителем? Делиневский R\Gamma_c от пучка локальных Ext'ов, или что-то другое?

а чего, твой SemiЕхt для конечномерных градуированных алгебр не совпадает с полубесконечным Ext'ом из нашей статьи?

[roma.livejournal.com]

совсем "левая" "идея". Пусть А -- групповая алгебра дискретной группы. Нельзя ли выразить Ext'ы над А с компактным носителем (чем бы они ни были) через обычные Ext'ы и некий "кусок" связанный с "концами" (границей) группы по Громову? [Это вариация на тему (1-й части) диссертации моей дорогой, arXiv:math/0406223]

[posic.livejournal.com]

Ну ты же знаешь, что твой Ext бывает для конечномерной алгебры A с фробениусовой подалгеброй N. Просто Hom в ограниченной производной категории конечномерных модулей через подкатегорию модулей, проективно-инъективных над подалгеброй. Если подалгебра не фробениусова, там алгебру A# строить нужно и отождествлять N-инъективные A-модули с N-проективными A#-модулями, что-то такое. При чем же тут бесконечномерная коммутативная алгебра без подалгебры?

А между прочим, первое свойство когомологий с компактным носителем (тех, что в топологии) состоит в том, что разумный смысл они имеют в меньшей общности, чем обычные когомологии. Только для локально компактных пространств, мне кажется. Ну, и формальные свойства у них более деликатные (гомотопической инвариантости нет, по крайней мере, в обычном виде).

А мой SemiExt для конечномерных градуированных алгебр с условиями положительности на градуировку, как в нашей статье, соотносится с твоим полубесконечным Ext'ом очень просто. Есть некое положительно градуированное векторное пространство с конечномерными компонентами. Твой полубесконечный Ext есть прямая сумма его компонент, а мой SemiExt -- их прямое произведение.

Точно так же соотносятся когомологии с компактным и произвольным носителем у пространства, являющегося несвязным объединением бесконечного множества компактных пространств.

[posic.livejournal.com]

Тут дело в том, что если имеется в виду то, что у Хьюзмоллера-Мура-Сташефа, Калдарару-Ту и т.д., то Ext первого и второго рода отличаются только если либо речь идет о DG-алгебре, а не просто алгебре, либо вычисляется Ext над алгеброй, но между неограниченными комплексами модулей.

[posic.livejournal.com]

Если же имеется в виду нечто полубесконечное, то у меня определяются полубесконечные (ко)гомологии локально компактной, вполне несвязной группы относительно компактной открытой подгруппы. Но от этого до концов дискретной группы (чем бы они ни были) еще должны быть семь верст лесом, если вообще.