Симплициальные методы

[posic]

http://roma.livejournal.com/207124.html

По ассоциативному моноидному (кольцевому) объекту с единицей в моноидальной (тензорной) категории можно построить симплициальный объект в этой категории (пунктированный единичным объектом тензорной структуры). Бар-конструкция, называется.

Это пока что единственный смысл, который я сумел для себя найти в понятии симплициального объекта категории (хотя я не сомневаюсь, что там есть еще).

Comments

кажется замечательной

[jedal]

возможность вычислять производные функторы (“по Дольду-Пуппе”) и от неаддитивных функторов; например, это объясняет, что алгебра Стинрода — объект (не топологический, а) чисто алгебраический: производный функтор от линейной оболочки k[-].

Re: кажется замечательной

[posic.livejournal.com]

Неаддитивные производные функторы -- это прекрасно. Непонятно, при чем тут категория \Delta. Вот комплекс (нечетный оператор с нулевым квадратом) -- естественный объект. А в роли категории \Delta явно можно использовать многие другие категории, и можно как-то сказать, какие именно категории подходят, только я не знаю, как (категория, видимо, должна быть в каком-то там смысле стягиваемой и достаточно большой). И видимо у \Delta есть ограниченный список технических преимуществ перед этой произвольной категорией со свойствами. Так, мне кажется, оно должно быть, но в этом надо разбираться, а не разобравшись, думать про \Delta как-то сложно.

Re: кажется замечательной

[vanja-y.livejournal.com]

Ну да, это придумал Гротендик, доказал Cisinksi и более менее понятно объяснил Jardine:

http://intlpress.com/HHA/v8/n1/a3/

Re: кажется замечательной

[posic.livejournal.com]

О, спасибо.

"Ты их в дверь - они в окно!"

[jedal]

Интересно, спасибо.

Но замечу, все же, что так как стягиваемость категории определяется как стягиваемость симплициального множества — ее нерва, избавиться от категории Δ это не позволяет.

(А первопричина, видимо, именна та, что написана в посте — «Δ is the walking monoid», типа.)

Re: "Ты их в дверь - они в окно!"

[vanja-y.livejournal.com]

Сложно сказать. У меня есть только полуфилософское соображение (математически совершенно непроверенное), что &Delta важна по историческим причинам. Cisinski был вынужден использовать симпликциальные множества, потому что формализм других множест просто не был на тот момент выписан. Если бы формализм, например, кубических множеств был выписан и развит в достаточной степени, то почему бы не использовать их? По каждой категории строится кубическое множество: объекты, стрелки, стрелки в категории стрелок, стрелки в категории стрелок в категории стрелок и т.д. (я не проверял, будет ли это кубическим множеством, но вроде должно). Можно определить стягиваемость категории, как стягиваемость соответствующего кубического множества (опять таки не проверял, даст ли это определение, то что надо). Где-то так.

Re: "Ты их в дверь - они в окно!"

[jedal]

А как определять геометрическую реализацию для произвольной тестовой категории? То есть это какой-то Coend, как обычно, но что надо сопоставить объекту — т.е. как из категории Δ извлечь стандартный симплекс, например? (Для категории Δ у меня как раз есть некое объяснение, но оно совершенно не годится для произвольной категории.)

(А про кубические множества ничего не понимаю, к сожалению.)