В тексте про (ко)гомологии Хохшильда второго рода

[posic]

На 17-й странице появилось определение (ко)гомологий Хохшильда второго рода. Ну, надо же наконец доказать теорему, что они одинаковы для CDG-категории и для DG-категории CDG-модулей над ней. И как тут обойтись без определения.

Вообще, нельзя сказать, чтобы я особенно ясно понимал, зачем я пишу этот текст. Вон какую хорошую терминологию Caldararu-Tu придумали: "гомологии Хохшильда Бореля-Мура" и "когомологии Хохшильда с компактным носителем". Ну, и все остальное тоже могли бы без меня придумать.

Вообще в этой науке, помимо того, что мы уже знаем, хорошо бы доказать еще две метатеоремы:

1. все дополнительные структуры и их формальные свойства, которые имеются на (ко)гомологиях Хохшильда ассоциативных алгебр, включая скобку Герстенхабера, разновидности циклических гомологий и т.п., имеются также и на (ко)гомологиях Хохшильда второго рода CDG-алгебр; и

2. все это автодуально при кошулевой двойственности.

И еще хорошо бы разобраться, наконец, с интерпретацией классов Черна из моей старой работы в терминах циклических гомологий. Ну, этой задаче уже скоро 20 лет будет.

Upd.: ну и еще определить (ко)гомологии Хохшильда второго рода точных (C)DG-категорий и доказать их изоморфизм для CDG-коалгебры и точной DG-категории конечномерных CDG-комодулей над ней.

Comments

[jedal]

> И еще хорошо бы разобраться, наконец, с интерпретацией классов Черна из моей старой работы в терминах циклических гомологий.

(Какие-нибудь подробности были бы интересны.)

[posic.livejournal.com]

Имеется в виду эта статья -- http://mi.mathnet.ru/rus/faa/v27/i3/p57 . Классы Чженя и др. харклассы строятся там в параграфе 5. Для того, чтобы понимать его, должно быть достаточно прочитать определение CDG-алгебры во второй половине параграфа 1 (ну и еще в параграф 4 может быть полезно заглянуть, и во введение).

[jedal]

Спасибо.

А на категории CDG-алгебр есть модельная структура, подходящая для вычисления производных у функтора C/[C,C]? (Потому что классы Черна там и живут, видимо, а для DG-алгебр циклические когомлогии так и получаются.)

[posic.livejournal.com]

На категории CDG-алгебр я модельной структуры не знаю, но на категории конильпотентных CDG-коалгебр есть модельная структура. Правильнее считать, что кошулева двойственность сопоставляет фильтрованной алгебре конильпотентную CDG-коалгебру, а не CDG-алгебру, так что все как раз сходится.

Но никакого определения классов Черна со значениями в циклических гомологиях (если не считать таковым мою конструкцию) я не знаю, к сожалению. Хотя оно, наверное, такое есть.