posic | Лемма VII.9.2 из Касселса-Фрелиха

Дж.Тейт, "Глобальная теория полей классов", параграф 9 "Когомологии классов иделей II. Второе неравенство", Лемма 9.2 на стр. 281 русского издания.

Пусть глобальное поле K содержит корни n-й степени из 1. Пусть S -- конечное подмножество множества нормирований поля K, содержащее все архимедовы нормирования, все нормирования, отвечающие делителям числа n, и порождающее группу классов дивизоров.

Пусть T -- конечное множество нормирований, не пересекающееся с S и "не зависящее от K_S" в следующем смысле. К_S обозначает множество всех элементов К*, являющихся единицами (в смысле, обратимыми элементами кольца целых пополнения) во всех нормированиях вне S. Рассматривается декартово произведение по всем v из T факторгрупп U_v/U_vⁿ, где U_v есть группа обратимых элементов кольца целых O_v пополнения K_v. Требуется, чтобы отображение из K_S в это декартово произведение факторгрупп было сюръективным.

Предположим, что элемент b из K* является n-й степенью в (пополнениях по нормированиям из) S, единицей вне S и Т, а в T произвольный. Тогда b является n-й степенью в K*.

-----

Над этим медитировать. (Плюс еще теорема плотности Чеботарева, формулировку которой я и так помню.) Зато и проблема, что взять почитать в дорогу, сама собой решилась.