Лемма VII.9.2 из Касселса-Фрелиха
Jun. 23rd, 2010 01:28 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicДж.Тейт, "Глобальная теория полей классов", параграф 9 "Когомологии классов иделей II. Второе неравенство", Лемма 9.2 на стр. 281 русского издания.
Пусть глобальное поле K содержит корни n-й степени из 1. Пусть S -- конечное подмножество множества нормирований поля K, содержащее все архимедовы нормирования, все нормирования, отвечающие делителям числа n, и порождающее группу классов дивизоров.
Пусть T -- конечное множество нормирований, не пересекающееся с S и "не зависящее от KS" в следующем смысле. КS обозначает множество всех элементов К*, являющихся единицами (в смысле, обратимыми элементами кольца целых пополнения) во всех нормированиях вне S. Рассматривается декартово произведение по всем v из T факторгрупп Uv/Uvn, где Uv есть группа обратимых элементов кольца целых Ov пополнения Kv. Требуется, чтобы отображение из KS в это декартово произведение факторгрупп было сюръективным.
Предположим, что элемент b из K* является n-й степенью в (пополнениях по нормированиям из) S, единицей вне S и Т, а в T произвольный. Тогда b является n-й степенью в K*.
-----
Над этим медитировать. (Плюс еще теорема плотности Чеботарева, формулировку которой я и так помню.) Зато и проблема, что взять почитать в дорогу, сама собой решилась.
Пусть глобальное поле K содержит корни n-й степени из 1. Пусть S -- конечное подмножество множества нормирований поля K, содержащее все архимедовы нормирования, все нормирования, отвечающие делителям числа n, и порождающее группу классов дивизоров.
Пусть T -- конечное множество нормирований, не пересекающееся с S и "не зависящее от KS" в следующем смысле. КS обозначает множество всех элементов К*, являющихся единицами (в смысле, обратимыми элементами кольца целых пополнения) во всех нормированиях вне S. Рассматривается декартово произведение по всем v из T факторгрупп Uv/Uvn, где Uv есть группа обратимых элементов кольца целых Ov пополнения Kv. Требуется, чтобы отображение из KS в это декартово произведение факторгрупп было сюръективным.
Предположим, что элемент b из K* является n-й степенью в (пополнениях по нормированиям из) S, единицей вне S и Т, а в T произвольный. Тогда b является n-й степенью в K*.
-----
Над этим медитировать. (Плюс еще теорема плотности Чеботарева, формулировку которой я и так помню.) Зато и проблема, что взять почитать в дорогу, сама собой решилась.
